Glm. Konvergenz von Funktionenreihe

18.01.2006, 20:55	chris-1	Auf diesen Beitrag antworten »
Glm. Konvergenz von Funktionenreihe Abend, vielleicht kann mir jemand auf die Sprünge helfen. Ich fange gerade an mich mit glm. Konvergenz zu beschäftigen (und muß gestehen, daß dies erst meine erste Aufgabe ist): $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{kx} \end{eqnarray}$ Frage: Ist die Reihe glm. konvergent? Zuerst versuchte ich, die Grenzfunktion zu bestimmen. Dazu kann man das 1/x ja vor die Summe ziehen und hat dann die alternierende harm. Reihe, deren Grenzwert ln2 ist. Also wäre meine Grenzfunktion $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{\ln 2}{x} \end{eqnarray}$ Jetzt geht es ja darum zu zeigen, ob ein index l existiert mit $\begin{eqnarray} \|\sum_{k=1}^l \frac{(-1)^k}{kx} - \frac{\ln 2}{x}\| < \varepsilon \end{eqnarray}$ (der unabhängig von x sein muß) a) stimmt das soweit b) irgendwie hänge ich jetzt. wie gehts denn weiter?
18.01.2006, 20:57	chris-1	Auf diesen Beitrag antworten »
ps: ich habe noch vergessen zu erwähnen: $\begin{eqnarray} x \in ]0,1] \end{eqnarray}$
18.01.2006, 21:21	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} f_n(x)=\sum_{k=1}^n~\frac{(-1)^k}{kx}=\frac{1}{x}\cdot \sum_{k=1}^n~\frac{(-1)^k}{k} \end{eqnarray}$ . Dann gilt: $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)=\frac{\ln 2}{x}=\frac{1}{x}\cdot \sum_{k=1}^{\infty}~\frac{(-1)^k}{k} \end{eqnarray}$ für jedes $\begin{eqnarray} x\in (0,1] \end{eqnarray}$ (edit: Es muss $\begin{eqnarray} -\ln 2 \end{eqnarray}$ heißen, siehe unten.). Nun musst du $\begin{eqnarray} \|f(x)-f_n(x)\|=\left\|\frac{1}{x}\cdot \sum_{k=1}^{\infty}~\frac{(-1)^k}{k}-\frac{1}{x}\cdot \sum_{k=1}^n~\frac{(-1)^k}{k}\right\| \end{eqnarray}$ untersuchen. Vereinfache das doch erstmal ein wenig. Dann sollte die Aufgabe kein Problem mehr sein. Gruß MSS
19.01.2006, 11:56	Gast123	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergiert die alt. harmonische Reihe für $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k} \end{eqnarray}$ nicht gegen $\begin{eqnarray} - \ln 2 \end{eqnarray}$ ? (Für k=1 beginnt die Reihe ja im Negativen)
19.01.2006, 13:52	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist richtig. Das habe ich nicht gesehen. Danke! Gruß MSS

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