Grenzwertaufgabe

18.01.2006, 23:23

Explorator

Grenzwertaufgabe

Hallo,

ich habe da eine Aufgabe wo ich mit Umformen oder Ausklammern nicht weiter komme.
Kann jemand vielleicht schauen wo der Fadenanfang ist?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{x^n-1-n(x-1)}{(x-1)^2} \end{eqnarray*}$

danke voraus

18.01.2006, 23:28

JochenX

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$\begin{eqnarray*} (x^n-1)=(x-1)*(x^{n-1}+x^{n-2}+....+x+1) \end{eqnarray*}$
vielleicht hilft ja das smile

18.01.2006, 23:28

Lazarus

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stichwort binomische formeln.

die deflücke ist stetig ergänzbar, also vollständig wegzukürzen.

18.01.2006, 23:59

Explorator

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genau an dieser Stelle komme ich nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1}\frac{(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1)-n(x-1)}{(x-1)^2} \end{eqnarray*}$

dann (x-1) im Zähler ausgeklammert und mit der zweier Potenz im Nenner gekürzt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1}\frac{(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1)-n}{(x-1)} \end{eqnarray*}$

wenn ich anstelle von x in der ersten Klammer im Zähler 1 einsetze dann komme ich zu:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1}\frac{n-n}{(x-1)} \end{eqnarray*}$

wo mache ich den Fehler?

19.01.2006, 00:01

Mathespezialschüler

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Wenn du in Zähler und Nenner $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ einsetzt, erhältst du $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ . Du musst also noch weiter vereinfachen.
Beachte:

$\begin{eqnarray*} x^{n-1}+x^{n-2}+\ldots+x+1-n=(x^{n-1}-1)+(x^{n-2}-1)+\ldots+(x-1) \end{eqnarray*}$ .

Auf die Klammern kannst du wieder LOEDs Formel anwenden.

Gruß MSS

19.01.2006, 00:30

Explorator

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danke für Antworten, vor allem um diese Zeit Schläfer

also habe dann folgend:

$\begin{eqnarray*} x^{n-2}+2x^{n-3}+3x^{n-4}+...+(n-4)x^2+(n-3)x+(n-2) \end{eqnarray*}$

wenn ich von oben runter gucke, sieht nicht nach fertigen Lösung aus...

?

19.01.2006, 00:40

JochenX

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Zitat:

Original von Explorator
also habe dann folgend:
[.....]
wenn ich von oben runter gucke, sieht nicht nach fertigen Lösung aus...

wenn ich lesen, sieht nicht nach gut deutsch aus

nun natürlich (einfach) x=1 einsetzen, denn jetzt kannst du den grenzübergang machen

19.01.2006, 00:46

Mathespezialschüler

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Naja, so sollte es dann aussehen:

$\begin{eqnarray*} x^{n-2}+2x^{n-3}+3x^{n-4}+\ldots+(n-2)x+(n-1) \end{eqnarray*}$ .

Jetzt kannst du ja $\begin{eqnarray*} x\to 1 \end{eqnarray*}$ gehen lassen und wegen der Stetigkeit einfach $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ einsetzen.

Gruß MSS

19.01.2006, 01:00

Explorator

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aaa ja, da kommt Herr Gaus ins Gedächnis:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1}\frac{x^n-1-n(x-1)}{(x-1)^2} = \frac{n(n-1)}{2} \end{eqnarray*}$

Danke an alle

PS: LOED, in meinem Leben bereue ich zwei Dinge: 1. ich habe die Fremdsprachen (auch Deutsch) im Unterricht vernachlässigt 2. Für Mathe habe ich leider auch nicht genug Zeit investiert smile

19.01.2006, 01:19

Ace Piet

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Alternative:
(Statt auszumultiplizieren und nach x-Potenzen zu sortieren...)

MS hat Dir schon den Trick verraten... Du schreibst das n als 1 + 1 + ... + 1, nämlich n-mal und kannst so jede 1 hinter ein x^(i) für i=0,..n-1 stellen.

Der Zähler ist also:

x^(n-1) + x^(n-2) + ... + 1 - n

= [x^(n-1) - 1] + [x^(n-2) -1] + ... + [x -1] + [1-1]

Aus jedem [Term] lässt sich jetzt x-1 erneut ausklammern(!!) und der Gesamtausdruck hat die (nennerfreie) Form

[1+x+ ... x^(n-2)] + .. + [x-1]

beachte für diese Vorgehensweise noch n>= 2 (n=0 oder 1 sind speziell).

JETZT ERST darfst Du lim vor den Ausdruck schreiben, da Du jetzt weiss, dass er für x->1 existiert und er ist...

[1+1+....+1] + ... + 1 + 0
= [n-1] + [n-2] + ... + 1 <- dafür gibt es eine Formel!

19.01.2006, 01:22

JochenX

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genau das hat er doch getan!?

19.01.2006, 01:32

Ace Piet

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> genau das hat er doch getan!?

Stimmt, sorry. Mich verwirrten die Koeffizienten vor den x-Potenzen.

Er tat es bei [1+x+ ... x^(n-2)] + .. + [x-1].
An der Stelle war es (für mich) einfacher 1+1+... zusammenzuzählen.

19.01.2006, 02:32

mYthos

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Hallo,

zwei Mal mit der Regel von L'Hospital (sofern erlaubt bzw. im Unterricht vermittelt) bringt das Ergebnis in wenigen Zeilen.

Gr
mYthos

19.01.2006, 02:38

Mathespezialschüler

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Wobei mindestens das zweite Mal l'Hospital wieder einmal "überflüssig" ist.

Gruß MSS

19.01.2006, 02:42

mYthos

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Nicht, wenn man wiederum auf das Ausklammern von $\begin{eqnarray*} (x-1) \end{eqnarray*}$ verzichten will ...

Gr
mYthos

19.01.2006, 02:46

Mathespezialschüler

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Das meinte ich nicht. Ich meinte das, was ich hier, hier und hier schonmal beschrieben habe. Augenzwinkern

Gruß MSS

19.01.2006, 14:26

mYthos

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Hi MSS,

ja, das ist klar, ein Zirkelschluss (Zirkelbeweis) bzw. "circulus vitiosus" wäre unzulässig, solange der Grenzwert die Form

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \end{eqnarray*}$

besitzt.

Beim ersten Mal kann L' Hospital jedoch problemlos angewandt werden, danach allerdings nicht mehr. Jetzt lässt sich allerdings der Faktor $\begin{eqnarray*} (x - 1) \end{eqnarray*}$ wiederum leicht ausklammern und es ist

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{n \cdot (x^{n - 1} - 1)}{2 \cdot (x - 1)} \ = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \ \lim_{x \to 1} \frac{n}{2}(x^{n - 2} + x^{n - 3} + ... + x + 1) = \frac{n \cdot (n - 1)}{2} \end{eqnarray*}$

Gr
mYthos

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