Beweis für die linearität der Umkehrabbildung

Neue Frage »

19.01.2006, 15:33	schesche	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis für die linearität der Umkehrabbildung Hi, ich suche einen Beweis für für folgendes Phänomen: Wenn $\begin{eqnarray} F:\mathbb R ^4 -> \mathbb R ^4 \end{eqnarray}$ eine lineare Abbildung und bijektiv ist, dann ist folglich die Umkehrabbildung $\begin{eqnarray} F^-1 \end{eqnarray}$ ebanfalls linear
19.01.2006, 16:01	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis für die linearität der Umkehrabbildung Angenommen $\begin{eqnarray} F^{-1}:\mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4 \end{eqnarray}$ ist nicht linear. Betrachte $\begin{eqnarray} F^{-1}\circ F \end{eqnarray}$ ... So müsste es gehen.
19.01.2006, 16:28	schesche	Auf diesen Beitrag antworten »
Du meinst also: $\begin{eqnarray} F^-1 (F(x)) \end{eqnarray}$ , oder wie muß ich mir das vorstellen?Kannst Du etwas konkreter werden?
19.01.2006, 16:31	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn also $\begin{eqnarray} F^{-1} \end{eqnarray}$ die Umkehrabbildung von $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ ist, was ist dann $\begin{eqnarray} F^{-1}(F(x)) \end{eqnarray}$ ?
19.01.2006, 16:36	schesche	Auf diesen Beitrag antworten »
Na $\begin{eqnarray} F^-1 hinter F \end{eqnarray}$ . So ist doch die Komposition zu verstehen, oder nicht? Kann man das evtl . auch über die Invertierbarkeit von Matrizen beweisen? Das hatten wir zwar noch nicht, mein Kollege meint aber das wär irgendiwe einfacher.
19.01.2006, 16:41	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, wenn du eine Matrix mit ihrer Inversen multiplizierst erhältst du was? Edit: Ja man kann es auch über Invertierbarkeit von Matrizen beweisen, da wir in $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ sin und $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ linear ist. Dann lässt sich $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ nämlich auch als Matrixoperator darstellen.
Anzeige

19.01.2006, 16:56	schesche	Auf diesen Beitrag antworten »
Was erhalte ich denn nun., wenn ich die Matrix mit ihrerInversen multipliziere? Und was bitte ist jetzt schon wieder ein Matrixoperator ?
19.01.2006, 16:59	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Na wie ist denn eine Inverse definiert? Komm, das weißt du, da bin ich mir sicher: Welche spezielle Matrix erhält man (immer) wenn man eine Matrix mit ihrer Inversen multipliziert? (Ein Matrixoperator ist eigentlich nichts weiter als eine Matrix, aber denk da jetzt mal im Momnet nicht so intensiv drüber nach).
19.01.2006, 17:09	schesche	Auf diesen Beitrag antworten »
Sprechen wir vielleicht grade von der Einheitsmatrix. Genau! Die verwende ich ja auch auch um mit Gauss eine Matrix in Treppen-Strufenform zu bringen, also zu invertieren. Also gut wenn ich das jetzt richtig geschanllt hab, dann muß ich erstens die Invertierbarkeit, z.B. mittels Determinante nachweisen und 2. als Produkt der Matrixmultiplikation der Ausgangsmatrix mit der Inversen die Einheitsmatrix erhalten. Ist das jetzt der Beweis?
19.01.2006, 17:13	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum einen: Genau die Einheitsmatrix! Was wird wohl nun für eine Funktion rauskommen wenn ich eine Funktion mit ihrer Umkehrfunktion verknüpfe? Zum anderen: Nein, das war es leider noch nicht!
19.01.2006, 17:30	schesche	Auf diesen Beitrag antworten »
als Nichtmathematiker würde ich jetzt mal ganz frech behaupten: die "Einheitsfunktion", aber die wirds wohl gar nicht geben. Also ich hab keine Ahnung.
19.01.2006, 17:46	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Gefühl ist doch gar nciht so schlecht. Es ist die Identische Abbildung $\begin{eqnarray} I(x)=x \end{eqnarray}$ und diese ist linear. Der Raum der linearen Funktionen $\begin{eqnarray} F:X\to X \end{eqnarray}$ bildet einen Ring mit Einselement $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ . Somit muss $\begin{eqnarray} F^{-1} \end{eqnarray}$ linear sein. Mit anderen Worten: Da $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ linear ist, muss auch $\begin{eqnarray} F^{-1} \end{eqnarray}$ linear sein, wenn $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ linear ist, da die Komposition einer linearen Abbildung mit einer nichtlinearen Abbildung eine nichtlineare Funktion erzeugen würde. Klar? Edit: Ausdruck verbessert!
19.01.2006, 17:58	schesche	Auf diesen Beitrag antworten »
OK vielen Dank
20.01.2006, 16:47	Ace Piet	Auf diesen Beitrag antworten »
@Dual Space > Der Raum der linearen Funktionen bildet einen Ring mit Einselement ... Lass uns kurz über die beiden Verknüpfungen in diesem Ring reden. Sind (+) : (f+g)(x) := f(x) + g(x) () : fg(x) := f(x) * g(x) gemeint? Beide taugen nicht, um über "Inverse" im Sinne der Hintereinanderausführung zu sprechen, insbesondere ist id - id = 0 und für die Aufgabenstellung ungeeignet... Lass uns die Geschichte retten... Behauptung: Die Menge S:= {f: V --> V \| f ist linear und bijektiv} bildet bzgl. der Hintereinanderausführung "o" (<- "Kringel") eine nicht-kommutative Gruppe. Abb := {f: V --> V \| f ohne Bedingung} ist abgeschlossen bzgl. "o", es gilt das AssG. und es existiert eine "Eins" = id, kurz: Abb ist Halbgruppe mit "Eins". Teilmengen S von Abb übernehmen das Assoz.Gesetz, ferner ist f o g bijektiv (ohne, weil einfacher zweiteiliger Beweis für injektiv + surjektiv) und f o g ist "linear", weil (f o g)(x) = f[g(x)] impliziert für x := au + bv, dass (f o g)(au + bv) = f[ag(u) + bg(v)] ... weil g ist V-linear = a* f[g(u)] + b* f[g(v)] ... weil f ist V-linear = a(f o g)(u) + b(f o g)(v) d.h. f o g ist V-linear für f,g aus S bzw. S abgeschlossen bzgl. "o". Ferner ist id linear und bijektiv (beides bedarf eines Nachweises!), es ist f o id = id o f, d.h. id aus Abb ist auch die eindeutige "Eins" in S. Wasserstand: Bislang ist S nicht-kommutative Halbgruppe mit "Eins" als Teilmenge von Abb und von der Existenz irgendwelcher "Inversen" (in S) war bisher nicht die Rede. Jedes f aus S besitzt (vermöge bijektiv) ein f', sodass... f o f' = f' o f = id, was dieses f' sofort eindeutig macht und die Bezeichnung f' =: f^(-1) im Sinne Umkehrabbildung erlaubt. - Bleibt noch der Nachweis, dass f' V-linear ist... Zu den "Zahlen" a,b und u,v aus V ist a* f'(u) + b* f'(v) aus V und besitzt unter f' ein Urbild (weil f' surjektiv), etwa w, kurz: f'(w) = a* f'(u) + b* f'(v). Wende ich auf f'(w) das lineare f an, ergibt sich.. (f o f')(w) = w ... f o f'= id = a* (f o f')(u) + b* (f o f')(v) ... mit Lin. von f (oh.Strich) = au + bv w= au + bv ist eindeutig (vermöge f injektiv) Also gezeigt: f'(au + bv) = a* f'(u) + b* f'(v) S besitzt also zu jedem f ein f' aus S und ist jetzt (nicht-kommutative) Gruppe. ---snip Für die Aufgabenstellung hätte der kursive Teil gereicht. -Ace-

Neue Frage »

Antworten »

Beweis für die linearität der Umkehrabbildung

Verwandte Themen