Minimalpolynom |
18.05.2008, 11:40 | Kalle8 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Minimalpolynom ich hab bei dieser Aufgabe Probleme. Vielleicht kann mir ja einer helfen. Sei der Körper . Wie bestimmt man den Grad und das Minimalpolynom von über . |
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18.05.2008, 12:30 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, zunächst mal solltest du den Grad berechnen. Das erledigst du mit der Gradformel und durch sukzessives Bestimmen von Minimalpolynomen (der Grad des Minimalpolynoms gibt den Grad der jeweiligen einfachen Körpererweiterung an). Gruß, therisen |
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18.05.2008, 12:36 | Kalle8 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ist denn . Da die Minimalpolynome von den drei Ausdrücken jeweils den höchsten Grad 2 haben? |
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18.05.2008, 12:49 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist richtig. Kannst du das auch beweisen? (Ein Schritt ist nichttrivial. Welcher?) |
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18.05.2008, 13:19 | Kalle8 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Meinst du mit dem und ? Denn es könnte ja auch ein Polynom mit Grad kleiner als 4 geben. |
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18.05.2008, 13:37 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, genau das meine ich.
Wieso Grad 4? Es gilt doch nur zu entscheiden, ob oder . Anders formuliert: Gilt ? Beweis? |
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18.05.2008, 13:52 | Kalle8 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok... das hab ich soweit verstanden. Gilt dann auch für das Minimalpolynom von hat den höchsten Grad 8, oder musst der Grad nur kleiner als 8 sein ? |
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18.05.2008, 14:02 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Interessanterweise hat das Minimalpolynom von über den Grad 4. Es ist nicht schwer, dieses zu bestimmen. |
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18.05.2008, 14:50 | Kalle8 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also ich hab . Dies passt. Ich hab probiert, ob es ein Polynom niedrigeren Grades dies erfüllt. |
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18.05.2008, 14:55 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Richtig. |
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19.05.2008, 14:49 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da sich der Thread wohl soweit für den Fragesteller erledigt hat, möchte ich das nutzen um eine Frage zu stellen: Zum Nachweis, dass . Mir ist klar, dass und daher ist ein zweidimensionaler Vektorraum über . Das heisst es muss eine Basis geben und dann wird gesagt dass für die Basis und ist und dann ein Widerspruch hergeleitet für die Annahme, dass doch . Soweit so gut, nur ich habe mir die Frage gestellt wieso man notwendig weiss, dass eine Basis ist. Ich meine zunächst hat man ja nur einmal Heisst das, man kann eine Basis von (mit über irreduzibel) immer dadurch bekommen, indem man die Wurzeln des Polynoms nimmt? |
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19.05.2008, 14:58 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der -Vektorraum ist 2-dimensional. Daher genügt es zu zeigen, dass linear unabhängig ist. Das ist aber leicht einzusehen. Eine Basis findet man i.d.R. dadurch, dass man zunächst die Dimension bestimmt und dann von den erzeugenden Elementen der Erweiterung Produkte/Inverse etc. bildet, bis man ein maximales linear unabhängiges System hat. EDIT: Alternativ kann man auch das Bild des Homomorphismus untersuchen. Das ist ja gerade . |
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19.05.2008, 15:05 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
OK, wunderbar. |
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19.05.2008, 20:24 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja genau, das war das Problem. Ich weiss nie wirklich wie man eine Basis finden kann, gerade wenn die Dimension bischen grösser ist zb. für Man hat doch , wegen ? Dann soll man eine Basis finden. Ich meine klar ist , weil . Und wegen kann man nutzen. Ähnlich für , weil . Nun habe ich gesehen, dass ist, aber wie kommt man am besten darauf? Lediglich durch ausprobieren? Wie soll man dies in dem Fall mit dem Einsetzungsmorphismus machen? |
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19.05.2008, 21:14 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ein wenig Ausprobieren und Intuition. Das erspart einem viel Arbeit.
Das ist nicht so einfach, da es sich um keine einfache Erweiterung handelt. Ich empfehle den obigen Weg (Intuition). |
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19.05.2008, 21:15 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Alles klar, dann werd ich mir mal mit Aufgaben ein bischen Intuition antrainieren |
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19.05.2008, 21:18 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Übrigens ist es manchmal durchaus schwierig zu entscheiden, ob eine Erweiterung Grad 1 oder 2 hat (im Fall von und war es sehr einfach). |
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19.05.2008, 21:21 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hättest du ein solches Beispiel? |
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19.05.2008, 21:28 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zwei etwas (nicht viel) schwerere Beispiele: Gilt ? Gilt ? |
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19.05.2008, 21:48 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Soweit mal zum Ersten Beispiel: Ich habe das Minimalpolynom von ausgerechnet und gefunden, dass dieses ist. Damit ist dann auch Dann hat man, dass auch eine Wurzel davon ist, daher setze ich mal und als Produkt der beiden Ich habe noch nicht nachgewiesen, dass dies wirklich eine Basis ist, aber ist das schonmal OK soweit? Falls ja, dann ist gezeigt, dass deine Behauptung wahr ist. Edit: Falls ich das mit dem Einsetzungsmorphismus machen will, kann ich dann so argumentieren, dass zb für der Morphismus liefert und weil , dann soll man dies als ein Basisvektor nehmen? |
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19.05.2008, 23:24 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja, um zu zeigen, dass das eine Basis ist, musst du erstmal beweisen, dass . Du bist also noch keinen Schritt weiter
Wozu brauchst du da einen Einsetzungsmorphismus? Da man stets in die Basis aufnimmt (oder ein skalares Vielfaches davon), darf natürlich kein weiterer Basisvektor ebenfalls in liegen. |
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20.05.2008, 14:34 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da hast du wohl recht. Reicht es zu sagen, dass mit das Minimalpolynom von und weil ebenfalls , folgt die Behauptung? |
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20.05.2008, 15:48 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, das klappt nicht. Nur weil du eine Nullstelle adjungierst, erhältst du noch lange keinen Zerfällungskörper. |
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20.05.2008, 18:11 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, sehe ich ein. Also dann mal auf die experimentelle Tour: Sicher und weil ein Körper, dann muss auch , das heisst also . Nun aus dem gleichen Grund muss das heisst dann Also wenn ich das nun habe, dann kann ich wie oben die Basis setzen. Um die lineare Unabhängigkeit zu überprüfen, muss ich da mit der Definition herangehen, also mit und dann mittels Umformungen folgern oder gibts da einen nicht so mühsamen Weg der mir entgangen ist? |
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20.05.2008, 18:27 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Alles richtig. Nein, du hast nichts übersehen. Man muss den mühsamen Weg gehen. |
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12.05.2010, 18:23 | Betzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da ich z.Zt. ein ähnliches Problem habe, hab ich den Thread wieder hochgeholt. Ich soll die Dimension von: und herausfinden. In der Vorlesung habe ich diese Formel auf Seite 1 um die Dimension herauszufinden noch nicht bekommen und ich versteh sie auch nicht. Also blieb mir nur übrig eine Basis durch Intuition zu finden. Ich bin auch auf 1, gekommen, frage mich allerdings warum nicht auch mit in der Basis liegt? Wenn man durch dividiert, kommt man doch noch auf diese Variante? Beim zweiten Körper würde ich es auf ähnlichem Wege probieren. Kann mir jemand behilflich sein, wäre sehr dankbar. |
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14.05.2010, 10:20 | Zephyr | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hab die selbe aufgabe und das selbe problem ne antwort wäre kuhl ^^ |
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