"Familie von Ereignissen"

18.05.2008, 13:20	Zebra	Auf diesen Beitrag antworten »
"Familie von Ereignissen" Hallo, ich habe eine kleine Frage: Ich habe drei Ereignisse $\begin{eqnarray} E_1,E_2,E_3 \end{eqnarray}$ und soll zeigen, dass diese zwar paarweise unabhängig sein, aber als "Familie von Ereignissen" nicht unabhängig. Die paarweise Unabhängigkeit zeige ich mit $\begin{eqnarray} P(E_i \cap E_j) = P(E_i) P(E_j) \end{eqnarray}$ . Aber wie ist das mit "Familie von Ereignissen" zu verstehen? Worum geht es und wie zeigt man das? (Kann man das so allgemein sagen oder muß ich die ganze Aufgabenstellung posten?)
18.05.2008, 13:40	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst nur noch zeigen, dass $\begin{eqnarray} P\left(\bigcap_{i=1}^3E_i\right)\neq\prod_{i=1}^3P(E_i) \end{eqnarray}$ .
18.05.2008, 13:49	Zebra	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, so ist das gemeint. Dankeschön!
18.05.2008, 14:05	Zebra	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo nochmal, ich hätte doch noch eine Frage: Im Internet bin ich vorhin auf eine Aufgabe gestoßen. Da ging es grob darum, dass ein Würfel zweimal geworfen wurde und verschiedene Ereignisse definiert wurden. Und dort sollte man zeigen, dass zwar $\begin{eqnarray} P(E_1 \cap \dots \cap E_n) = P(E_1) \dots P(E_n) \end{eqnarray}$ gilt, die Ereignisse als Familie aber _nicht_ unabhängig sind. (Leider finde ich die Aufgabe jetzt nicht wieder) In welchen Fällen kann man denn die (Un-) Abhängigkeit so wie von dir geschrieben zeigen und wann nicht?
18.05.2008, 14:13	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, man muss einfach die Definition nachweisen. Diese lautet: Sei $\begin{eqnarray} (E_i)_{i\in I} \end{eqnarray}$ (I eine bel. Indexmenge) eine Familie von Ereignissen. Diese heißt stochastisch unabhängig, falls für jede nichtleere, endliche Teilmenge $\begin{eqnarray} J\subseteq I \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} P\left(\bigcap_{j\in J}E_j \right)=\prod_{j\in J}P(E_j)\qquad\qquad() \end{eqnarray}$ . Insbesondere impliziert die Unabhängigkeit einer Familie (mit mehr als einem Ereignis!) die paarweise stochastische Unabhängigkeit der Ereignisse. Die Umkehrung gilt nicht (siehe deine Aufgabe)! Falls $\begin{eqnarray} I=\{1,\dots, n\} \end{eqnarray}$ , so muss $\begin{eqnarray} () \end{eqnarray}$ insbesondere für $\begin{eqnarray} J=I \end{eqnarray}$ gelten. Das war bei deiner Aufgabe nicht der Fall. Gruß, therisen
18.05.2008, 14:59	Zebra	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, jetzt habe ich es verstanden. Ich hatte das "für jede Teilmenge" übersehen. Danke!
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