zugfahrt

19.01.2006, 18:13

ändi

zugfahrt

Hallo,

leider kann ich mir diese aufgabe nicht bildlich vorstellen. auch weiß ich nicht, was mit den stellen gemeint ist... bin erstmal von 2 ausgegangen...

vielleicht kann mir jemand helfen

Wieviele Stellen gibt es zwischen Hamburg und München, die von einem ICE von Hamburg
nach München, Abfahrtszeit Hamburg 9:01 Uhr, Ankunft München 15:02 Uhr, und von einem
ICE von München nach Hamburg, Abfahrtszeit München 10:55 Uhr, Ankunft Hamburg 16:54
Uhr, in einem zeitlichen Abstand von exakt einer Stunde passiert werden?

19.01.2006, 19:33

riwe

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RE: zugfahrt
könnte stimmen,
edit: wenn sie gleich schnell führen.
werner

19.01.2006, 19:36

ändi

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RE: zugfahrt
danke... ich guck jetzt mal was sich dadran rechnen lässt.

19.01.2006, 19:37

Ben Sisko

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Die Züge fahren nicht gleich schnell. Vielleicht hilft es dir aber, ändy, das vorerst einmal anzunehmen und die "leichtere" Aufgabe zu lösen.

Wenn du die dann verstanden hast, kannst du dich an die schwierigere machen Augenzwinkern

19.01.2006, 20:07

riwe

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so schlampig liest man = ich
werner

19.01.2006, 21:12

ändi

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oh gott, daran hab ich gar nicht gedacht... jetzt passt mir die aufgabe noch weniger

20.01.2006, 15:00

ändi

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kann man auf diese Aufgabe auch einen Satz anwenden?

20.01.2006, 15:46

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Zwischenwertsatz für stetige Funktionen

Und gleichmäßige Geschwindigkeit der Züge braucht man nun wirklich nicht. Nur das Rückwärtsfahren müssen wir verbieten... Augenzwinkern

EDIT: (gelöscht, war Unsinn)

20.01.2006, 16:43

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Und gleichmäßige Geschwindigkeit der Züge braucht man nun wirklich nicht.

Aber dann wär's doch viel leichter oder nicht? Ohne viel Mathematik... verwirrt

23.01.2006, 16:13

ändi

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ich hab mir jetzt nochmal ein paar gedanken zum zwischenwertsatz gemacht..
leider komme ich nicht drauf, wie ich mit hilfe dieses satzes und der zeichnung die anzahl der gesuchtn stellen (2) beweisen kann????

hat jemand eine idee, wie es funktionieren könnte??? oder einen anderen ansatz???

23.01.2006, 17:17

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Schau dir mal Werners Skizzen an: Dort fahren beide Züge mit gleichmäßiger Geschwindigkeit. Man kann diese Geraden als Funktionen der Zeit in Abhängigkeit vom Weg auffassen:

$\begin{eqnarray*} t = f_1(s) = t_1+\frac{s}{v_1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t = f_2(s) = t_2-\frac{s}{v_2} \end{eqnarray*}$

Dabei ist $\begin{eqnarray*} t_1 \end{eqnarray*}$ die Abfahrtszeit des ersten Zuges von Hamburg nach München, $\begin{eqnarray*} t_2 \end{eqnarray*}$ die Ankunftszeit des Zuges von München nach Hamburg und $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ die Entfernung des Zuges von Hamburg, sowie $\begin{eqnarray*} v_1,v_2 \end{eqnarray*}$ die beiden gleichmäßigen Zuggeschwindigkeiten.

Wenn wir die Bedingung der gleichmäßigen Geschwindigkeit aufheben, aber immer noch fordern, dass die Züge zwischendrin nie halten, dann hat man immer noch stetige Funktionen $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ (streng monoton wachsend) und $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ (streng monoton fallend) vorliegen. Betrachten wir nun $\begin{eqnarray*} f(s):=f_1(s)-f_2(s) \end{eqnarray*}$ , dann ist

$\begin{eqnarray*} f(0) &=& (9:01~\mathrm{h})-(16:54~\mathrm{h}) \approx -7.88~\mathrm{h}\\ f(L) &=& (15:02~\mathrm{h})-(10:55~\mathrm{h}) \approx 4.12~\mathrm{h} \end{eqnarray*}$

( $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ ... Bahnentfernung Hamburg-München). Außerdem ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig und streng monoton wachsend, wegen der entsprechenden Eigenschaften von $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ . Die Stetigkeit impliziert über den Zwischenwertsatz nun die Existenz zweier Orte $\begin{eqnarray*} s_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s_2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(s_1)=-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(s_2)=1 \end{eqnarray*}$ , und wegen der strengen Monotonie kann es aber jeweils nur genau ein solches $\begin{eqnarray*} s_1 \end{eqnarray*}$ und genau ein solches $\begin{eqnarray*} s_2 \end{eqnarray*}$ geben.

So, das war das. Interessanterweise muss man die Forderung, dass die Züge nicht halten, gar nicht stellen! Allerdings wird in diesem Falle die Argumentation etwas schwieriger... Augenzwinkern

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