Folgen-Charakterisierung der Abgeschlossenheit

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Gast3 Auf diesen Beitrag antworten »
Folgen-Charakterisierung der Abgeschlossenheit
Hallo!!!

Ich habe eine Aufgabe bekommen, bei der ich keine Ahnung habe was ich machen soll und wie ich es machen könnte...

Seien die Supremums_Metrik, (abgeschlossene Kugel in X)

Zeigen Sie mit Hilfe der Folgen-Charakterisierung der Abgeschlossenheit, dass M bzgl. d_c abgeschlossen ist.

Ich habe erstmal keine Ahnung was die Folgen_Charakteriesierung der Abgeschlossenheit ist und habe dazu auch nix in der Vorlesungsmitschrift gefunden....

Wäre über HIlfe wirklch dankbar..
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folgen-Charakterisierung der Abgeschlossenheit
Du musst zeigen, dass der Grenzwert jeder konvergenten Folge in , in liegt (das wäre die Charakterisierung der Abgeschlossenheit von mit Folgen).

Grüße Abakus smile
rella Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folgen-Charakterisierung der Abgeschlossenheit
Hallo,

Ich suche zur gleichen Aufgabe ein paar Tips!

Jetzt weiß ich ja schon mal, welche Definition gemeint ist, aber wo kriegt man da die konvergenten Folgen her?
Ich vermute ja, ich sehe die Definition wieder zu konkret.

Ich kann doch nicht die abgeschlossene Kugel als Folge sehen! Das ergäbe nämlich keinen Sinn für mich, und mehr gegebene Sachen kann ich aus der Aufgabe nicht rauslesen!

Liebe Grüße,
rella
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folgen-Charakterisierung der Abgeschlossenheit
Erstmal zu diesem . Ich verstehe das wie folgt (am besten checkst du mal deine Definition dazu ab):



und



sowie

.

Eine Folge in M hat demnach als Folgenglieder beschränkte Funktionen. Du musst dir jetzt eine konvergente Funktionenfolge in hernehmen und zeigen, dass die Grenzfunktion wieder in ist, d.h. . Dazu gehört zuerst die Überlegung, was Konvergenz in diesem Raum überhaupt bedeutet.

Grüße Abakus smile
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folgen-Charakterisierung der Abgeschlossenheit
Zitat:
Original von rella
Ich suche zur gleichen Aufgabe ein paar Tips!

kannst du nicht ganz normal zugeben, dass du die gleiche person bist, die schon oben angefragt hat?
ich halte es kaum für einen zufall, dass eure IPs relativ ähnlich sind......

das ist unschön unglücklich
rella Auf diesen Beitrag antworten »
Lösungsvorschlag
Bei X handelt es sich um eine offene Kugel mit Mittelpunkt aus [0,1] und dem Radius aus R.
Bei M handelte es sich um eine abgeschlossene Kugel mit Mittelpunkt 0 und Radius 1.

Ich habe mir also eine beliege Folge f_n aus M definiert.
Da M beschränkt ist, konvergiert f_n --> f aus X.

Nun ist nur noch zu zeigen, dass f auch aus M ist.

f ist dann aus M, wenn
d_c(f(x),0) 1
<==> |f(x)-0| = |f(x)| 1 (markiert als (1))

Nun kommt der Teil, wo ich mir absolut unsicher bin:
Ich betrachte die Menge der Häufungspunkte der Menge M:
HM := {y X: jede U(x) \ {x} vereinigt mit M die leere Menge} = {y X: |0-y| 1} = M

Da ein Grenzwert immer auch ein Häufungspunkt sein muss (hatten wir mal bei Folgen), kann f auch nur aus M sein, also: |f(x)| 1 (somit ist (1) erfüllt)

Nach der Folgen-Charakterisierung der Abgeschlossenheit (Vorlesung vom 16.12.05) sind folgende Aussagen äquivalent:
(i) Für alle Folgen (x_n) Teilmenge M: Wenn x_n --> x in X, dann ist x M
(ii) M - abgeschlossen

Da (i) bei uns erfüllt ist, folgt daraus (ii).
M ist also abgeschlossen.

cu,
Cindy

P.S.: Zwar war die Abgabe bei mir schon. Hätte aber trotzdem gern Feedback!
 
 
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösungsvorschlag
Du musst dir erstmal und klarmachen. ist ein Funktionenraum, die Elemente von sind beschränkte Funktionen . ist mit der Supremums-Metrik versehen, so dass das Paar ein metrischer Raum ist.

ist wie folgt definiert: .

An dieser Stelle müsstest du begründen können, wieso überhaupt eine Metrik ist.

ist die abgeschlossene Kugel um 0 (das ist hier die Nullfunktion in ) mit Radius 1. Damit kannst du wie folgt schreiben: ("abgeschlossene Kugel" bedeutet hier, dass der Rand der Kugel auch in M enthalten ist).

Jetzt wird behauptet, ist in abgeschlossen. Dazu ist zu zeigen, dass für jede in konvergente Folge mit auch gilt.

Jetzt zum Beweis:
Es sei eine konvergente Folge in mit . Sei weiter . Dann existiert ein Index , so dass für alle gilt: (das ist die Definition der Konvergenz mal hergenommen).

Dann gilt für alle diese (hier wurde die Dreiecksungleichung für die Metrik benutzt). Da beliebig war, folgt , d.h. . Das war zu beweisen.

Vergleiche einmal mit deinem Beweis:

Zitat:
Da ein Grenzwert immer auch ein Häufungspunkt sein muss (hatten wir mal bei Folgen), kann f auch nur aus M sein, also: |f(x)| \leq 1 (somit ist (1) erfüllt)

Ein Grenzwert ist Folgen-Häufungspunkt, soweit korrekt. Das hat jedoch allgemein nichts mit den Häufungspunkten der Menge der Folgenglieder zu tun (betrachte zB eine konstante Folge). Selbst wenn der Grenzwert Häufungspunkt der Menge wäre, müsstest du noch zeigen, dass dieser ein Element von ist (das ist genau die Behauptung!).

Grüße Abakus smile
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