Integration von Mantelflächen |
| 19.01.2006, 19:10 | euklid jr. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Integration von Mantelflächen Dieses Rätsel betrifft die Integration von Mantelflächen. Normalerweise benutzt man ja zur Approximierung von Flächen unter beliebigen Kurven Rechtecke und lässt die Anzahl dieser dann gewöhnlich gegen unendlich streben. Anolog dazu verwendet man Zylinder zur Approximierung der Vulumina von Rotationskörpern. Doch im Falle der Integration von Mantelflächen ist es ganz anders. Hier verwendet man Kegelstümpfe und KEINE ZYLINDER zur Approximierung. Warum nun jetzt hier aber Kegelstümpfe statt Zylinder ????? Sicher bei einer endlichen Anzahl von Kegelstümpfen ist die Approximierung der Fläche durch sie besser als durch die Zylinder, aber wenn doch nun die Anzahl der Zylinder gegen unendlich strebt, müsste man doch eigentlich auch einwandfrei die Mantelfläche exakt berechnen können. Dies ist offensichtlich aber nicht der Fall. Wo ist der Haken an der Sache ? |
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| 19.01.2006, 21:12 | sqrt(2) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn man es mit Zylindern macht, dann erhält man , und das ist falsch. Das Problem ist, dass bei der Approximation mit Zylindern der Graph durch Rechtecke angenähert wird, die alle die Steigung null haben. Für das Volumen ist das unerheblich, weil nur die Höhe der Rechtecke von Interesse ist. Für die Mantelfläche wird aber die Länge des Graphen benötigt, und da spielt die Steigung auch eine Rolle (in Form der Dreiecke auf den Rechtecken); deshalb approximiert man mit Kegelstümpfen und erhält dann auch . |
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| 21.01.2006, 19:48 | euklid jr. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Integration von Mantelflächen Vielen Dank für deine Antwort ! Es gibt da allerdings noch ein Problem... Dazu muss ich etwas "philosophisch" werden. Ich bin nämlich der Meinung, dass man sagen kann, man habe etwas vollkommen verstanden, wenn man es sich "plastisch" vorstellen kann. Leider sehe ich aber nicht, warum unendlich viele Kegelstümpfe die (Mantel-)Fläche besser "ausfüllen" als unendlich viele Zylinder. Klar wenn man nachrechnet ergibt das Integral mit der Zylindermethode offensichtlich Unfug. Nur vorstellen kann ich mir das Ganze nicht. Ebenso wenig wie 10-dimensionale Vektorräume oder 3-dimensionale Sphären. Es erscheint mir gar etwas paradox. ...ähnlich paradox wie -1 = 1 ;-) |
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| 21.01.2006, 20:01 | sqrt(2) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Integration von Mantelflächen
Ich auch nicht, und das liegt daran, dass wir uns beide nicht vorstellen können, was eigentlich "unendlich" heißt. Mir ist lediglich gewissermaßen einleuchtend, dass die Steigung der Kurve durch einen einzigen rechteckigen Streifen der Breite nicht angenähert wird (dafür bräuchte man schon einen zweiten), durch ein Trapez der Breite jedoch schon. Wie man den Kegelstumpfansatz gegenüber dem Zylinderansatz mathematisch rechtfertigt, weiß ich nicht.
Naja, da ist wenigstens ein eindeutiger Fehler. |
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