Grenzwert

19.01.2006, 20:44

FFlex

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Grenzwert

Hi @ all!
Kleine Frage zu ner Aufgabe, die ich bearbeiten soll:
Aufgabe: Grenzwert bestimmen

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{cos(x)-\sqrt{1-x^{2}}}{x^{4}} \end{eqnarray*}$

Nun zu meiner Frage: Da ich keine Lust habe, mich mit L`Hospital totabzuleiten Kotzen

Kotzen

Big Laugh

hab ichs auf ne andere Art versucht:
Hab vom cos die Taylorentwicklung eingesetzt und das ganze ein wenig umgeformt: (hoff, ich hab mich nicht verrechnet)

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4}x^{4}}{x^{4}-\frac{1}{2}x^{6}+x^{4} \sqrt{1-x^{2}} } \end{eqnarray*}$

Wie kann ich hier vernünftig weitermachen um auf die Lösung (1/6) zu kommen? Oder ist dies hier aufgrund eirgendeines Fehlers schon gar nicht mehr möglich?

Danke im Voraus,
FFlex

19.01.2006, 22:23

Lazarus

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jap

Freude

19.01.2006, 22:30

FFlex

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verwirrt

Hilfe

Wie soll ich das deuten?

19.01.2006, 22:32

Lazarus

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\\ja .. wer lesen kann ist klar im vorteil .. sorry habs nur überflogen und gedacht du hättest das ergebniss rausbekommen.

mom ich setz mich mal kurz dran

19.01.2006, 22:34

FFlex

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Das Problem ist doch, daß ich mit meinem Ansatz gar nicht auf das Ergebnis komme.. traurig

traurig

.oder seh ich den Wald vor lauter Bäumen nicht?

19.01.2006, 22:44

Lazarus

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ok.

also so wies aussieht wirste nicht drum rum kommen des mit lhospital zu machen.

und halbtod ist ja auch übertrieben .. es is nur 4mal.

tut mir leid, das ichs vorhin falsch verstanden hab.

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19.01.2006, 22:53

FFlex

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Danke für deine Mühe!
Ich hatte angefangen, weißt du was das fürn großer term wird? Big Laugh

Big Laugh

Kannst du oder jemand anderes mir auch asgen , warum mein Ansatz nicht geht? Will nämlich nicht immer auf meinen Taschenrechner angewiesen sein, um zu überprüfen ob ich meine Ideen nun anwenden darf oder nicht... verwirrt

verwirrt

20.01.2006, 00:25

4c1d

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RE: Grenzwert

Zitat:

Original von FFlex
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4}x^{4}}{x^{4}-\frac{1}{2}x^{6}+x^{4} \sqrt{1-x^{2}} } \end{eqnarray*}$

Was genau hast hier überhaupt gemacht? Der Limes ist jedenfalls falsch - wenn du mit x^4 kürzt, siehst du, dass das gegen 1/8 geht.
Wenn du nicht gerne komplizierte Terme ableitest, kannst du stattdessen auch ein bisschen umformen :

$\begin{eqnarray*} \frac{\cos(x)-\sqrt{1-x^2}}{x^4} = \frac{\cos^2{x}-1+x^2}{x^4(\cos(x)+\sqrt{1-x^2})} = \frac{(x+\sin(x))(x-\sin(x))}{x^4(\cos(x)+\sqrt{1-x^2})} = \frac{1+\frac{\sin(x)}{x}}{\cos(x)+\sqrt{1-x^2}} \cdot \frac{x-\sin(x)}{x^3} \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du nach Limesregeln die Grenzwerte der beiden Faktoren einzeln bestimmen.

edit : Ich weiß jetzt nicht, ob man das mit Taylorreihen schneller hinbekommt, habe keine Möglichkeit gesehen, wie war denn dein Ansatz?

edit2 : Mit Näherungsformeln (Lösung für endlich viele Glieder) der Taylorreihe wäre hier aber sowieso nicht geholfen.

20.01.2006, 00:25

Lazarus

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so ich habs etz nochmal in aller ruhe durchgerechnet.
und leider muss ich dir mitteilen, das dir wohl irgendwo ein fehler unterlaufen ist, da nach deinen umformungen ein grenzwert von 1/8 rauskommt, was nicht stimmt.

darum nochmal mit taylor:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{\left[1-\frac{1}{2}\,{x}^{2}+\frac{1}{24}\,{x}^{4}-{\frac {1}{720}}\,{x}^{6}\right]-\sqrt{(1-x)(1+x)}}{x^4} \end{eqnarray*}$

und auch nun wird man wohl leider nicht umhinkommen lhospital anzuwenden.

weiss ned ob des nen vorteil ist, ob man da nun nen cosinus dastehn hat oder ne taylor reihe.
die wurzel ist ja das "problem" das so viel schreibarbeit macht.

aber wenn du dich da durchwühlst, solange bis das x aus dem nenner verschwunden ist, ist das problem gelöst.

leider führt wohl kein weg daran vorbei.

21.01.2006, 13:09

FFlex

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Hi! Als ich mir mal die Taylorreihenentwicklung von Lazarus angeschaut habe, ist mir aufgefallen, daß ich vielleicht, da im Nenner ein $\begin{eqnarray*} x^{4} \end{eqnarray*}$ steht, meine Taylorentwicklung auch bis mind. $\begin{eqnarray*} x^{4} \end{eqnarray*}$ machen sollte?! Teufel

Teufel

Und so funktionierts auch und zwar ganz ohne L`Hospital:

Taylorentwicklung für cos bis zum Grad 4 eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \frac{(1-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{24}x^{4})-\sqrt{1-x^{2}} }{x^{4}} \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} (1-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{24}x^{4})+\sqrt{1-x^{2}} \end{eqnarray*}$ erweitern, woraus sich ergibt:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{3}x^{4}-\frac{1}{24}x^{6}+\frac{1}{24^{2}}x^{8}}{x^{4}\sqrt{1-x^{2}}+x^{4}-\frac{1}{2}x^{6}+\frac{1}{24}x^{8}} \end{eqnarray*}$

Durch x^4 teilen liefert als Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} f(x) \end{eqnarray*}$ die gesuchten 1/6! Prost

Prost

Trotzdem noch ne Frage:
Zitat von 4c1d:

Zitat:

edit2 : Mit Näherungsformeln (Lösung für endlich viele Glieder) der Taylorreihe wäre hier aber sowieso nicht geholfen.

War das jetzt nur Zufall, daß es geklappt hat? verwirrt

verwirrt

Könnte es nicht sein, daß es hier funktioniert, weil die höheren Potenzen noch viel stärker als x^4 gegen 0 gehen und sie deshalb vernachlässigbar sind?

21.01.2006, 14:14

4c1d

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Zitat:

War das jetzt nur Zufall, daß es geklappt hat? verwirrt

verwirrt

Könnte es nicht sein, daß es hier funktioniert, weil die höheren Potenzen noch viel stärker als x^4 gegen 0 gehen und sie deshalb vernachlässigbar sind?

Du hast recht, man müsste allerdings noch zeigen, dass wirklich $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\sum_{k=3}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!}}{x^4} = 0 \end{eqnarray*}$ gilt (immerhin ist es eine unendliche Summe).

21.01.2006, 16:51

FFlex

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$\begin{eqnarray*} lim_{x \to 0} \frac{\sum_{k=3}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!}}{x^4} = 0 \end{eqnarray*}$

Ist das gleiche wie

$\begin{eqnarray*} lim_{x \to 0} \sum_{k=3}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k-4}}{{(2k)!}} = 0 \end{eqnarray*}$

Da das x nur nicht gegen 0 konvergiert, wenn sein exponent negativ ist, untersuche ich, wann dies der Fall ist:

$\begin{eqnarray*} 2k-4 \leq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k\leq 2 \end{eqnarray*}$

Also ist für k>=3 auf jeden Fall gesichert, daß der Exponent nicht negativ ist. Es gehen somit im Grenzfall alle Reihenglieder gegen 0 und somit die Reihe selbst auch?!
etwa so? verwirrt

verwirrt

21.01.2006, 17:25

4c1d

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Ne, der Grenzwert n->oo der Summe steht ja innen, wird also zuerst berechnet. Ob man da sofort sagen kann, dass das Ganze gegen 0 geht, weiß ich nicht. Vielleicht kann ja mal jemand anderes was zu sagen.

21.01.2006, 17:36

Mathespezialschüler

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Ich sehe hier, ehrlich gesagt, gar nicht durch, was gemacht wurde. Ich kann zu den Potenzreihen nur so viel sagen: Man darf bei Potenzreihen den Grenzwert in die Summe hinein ziehen, natürlich nur so lange man sich auf dem Konvergenzbereich befindet. Das kann z.B. damit begründen, dass Potenzreihen auf ihrem Konvergenzbereich gleichmäßig konvergieren. Damit sind sie mind. auf dem Konvergenzintervall stetig und sogar unendlich oft differenzierbar. Was also z.B. einen Grenzübergang $\begin{eqnarray*} x\to a \end{eqnarray*}$ angeht, so kann man mit ihnen umgehen wie mit ganz normalen Polynomen, vorausgesetzt natürlich, dass die Potenzreihe in einer Umgebung von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Gruß MSS

21.01.2006, 19:53

FFlex

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Zitat:

Was also z.B. einen Grenzübergang x-> a angeht, so kann man mit ihnen umgehen wie mit ganz normalen Polynomen, vorausgesetzt natürlich, dass die Potenzreihe in einer Umgebung von a konvergiert.

@MSS
Hoffe, dich nicht mißverstanden zu haben, aber genau das will ich ja eigentlich zeigen. Also daß meine Reihe in einer Umgebung um 0 gegen 0 konvergiert. unglücklich

unglücklich

21.01.2006, 19:56

FFlex

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Achja, wenn euch das ganze zu blöd werden sollte ist das ok, meine eigentliche Frage ist ja weitestgehend beantwortet.
Würde mich natürlich trotzdem über weitere Antworten freuen.
MfG
FFlex Rock

Rock

21.01.2006, 20:39

4c1d

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Zitat:

Original von FFlex
Also daß meine Reihe in einer Umgebung um 0 gegen 0 konvergiert. unglücklich

unglücklich

Ja, aber dazu musst du nur zeigen, dass sie in einer Umgebung von x=0 überhaupt konvergiert (denn dann kannst du nach dem was MSS gesagt hat den Limes in die Summe ziehen). Und das dürfte nicht allzu schwer sein Augenzwinkern

Augenzwinkern

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