Grenzwert bei Sinus und Cosinus

19.01.2006, 21:43

Explorator

Grenzwert bei Sinus und Cosinus

Hallo,

die Lösung der folgenden Aufgaben ist mir zu einfach vorgekommen. Kann jemand bitte schauen ob ich nicht ganz falsch liege.

1:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \sqrt{x^2+1}*sinx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \sqrt{x^2+1}*\lim_{x \to \infty }sinx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \infty *\lim_{x \to \infty }sinx \end{eqnarray*}$

wegen $\begin{eqnarray*} {sinx \to \infty } \end{eqnarray*}$ ist die Funktion divergent und deshalb ohne Grenzwert.

2:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty } x*cosx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty } x*\lim_{x \to -\infty }cosx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\infty *\lim_{x \to -\infty }cosx \end{eqnarray*}$

wegen $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty }cosx \end{eqnarray*}$ ist die Funktion divergent und deshalb auch ohne Grenzwert.

danke voraus

19.01.2006, 21:46

JochenX

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RE: Grenzwert bei Sinus und Cosinus

Zitat:

Original von Explorator
wegen $\begin{eqnarray*} {sinx \to \infty } \end{eqnarray*}$
[........]
wegen $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty }cosx \end{eqnarray*}$

hallo!
neeee, das erste ist sehr verkehrt!, bedenke |sin(x)| <= 1

das zweite sieht unvollständig aus Augenzwinkern

argumentiere mit: die andere folge konvergiert je nicht gegen 0, also divergiert das ganze

19.01.2006, 21:57

Explorator

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RE: Grenzwert bei Sinus und Cosinus
LOED, danke für die Antwort.

komme irgendwie mit "|sin(x)| <= 1" nicht weiter... Kannst Du mir auf die Sprünge helfen?

19.01.2006, 22:16

JochenX

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was verstehst du daran nicht?

wie verläuft denn die sinuskurve? |...| heißt betrag
ich hätte auch -1 <= sin(x) <= 1 schreiben können

insb. geht sin(x) nie gegen unendlich

19.01.2006, 22:19

FFlex

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Ich denke damit meint er, daß |sin(x)| nach oben beschränkt ist. Schau dir mal die sin(x) Funktion an.. Wink

Da sie beschränkt ist, ist auch ihr Einfluss auf die Gesamtfunktion beschränkt :-)

MfG

War wohl zu langsam Big Laugh

19.01.2006, 22:31

Explorator

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$\begin{eqnarray*} \infty * (-1 <= sin(x) <= 1) \end{eqnarray*}$ da sinus alterniert, weiß man nicht womit $\begin{eqnarray*} \infty * ? \end{eqnarray*}$ multipliziert werden soll ?

Klo

19.01.2006, 22:33

JochenX

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argh, also schreibtechnisch grauenvoll!
also wirklich! deine letzte aussage tut im auge weh.

bedenke: konvergiert ein faktor aus einem produkt zweier funktionen gegen unendlich, so kann die folge nur noch konvergieren, wenn die andere faktor-folge eine nullfolge ist.
sin(x) ist aber keine nullfolge => divergenz

19.01.2006, 22:51

Explorator

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LOED, es macht bei mir langsam "klick". Danke Gott

gibt es einen Namen für diese Regel?

19.01.2006, 22:53

mercany

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Öhm, für welche?

Für |sin(x)| <= 1 ?!?

19.01.2006, 22:55

Explorator

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Zitat:

Original von LOED

konvergiert ein faktor aus einem produkt zweier funktionen gegen unendlich, so kann die folge nur noch konvergieren, wenn die andere faktor-folge eine nullfolge ist.

19.01.2006, 23:03

JochenX

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braucht diese regel einen namen?
mir wäre keiner bekannt, zumal das eher eine logische folgerung aus dem bekannten grenzwertberechnen ist......

das habe ich in der formulierung oben vorhin aus meinem kopf gesogen.....

hauptsache die antwort ist damit klar und der andere teil läuft auf das gleiche hinaus.....

übrigens: tatsächlich divergiert dein produktfolge dann nicht gegen + oder -unendlich, sie oszilliert zwischen "ganz doll positiv" und "ganz doll negativ" und hat auch immer wieder nullstellen. ganz doll wird dabei immer extremer, je größer x wird.
sieht ziemlich freakig aus....

19.01.2006, 23:42

Explorator

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$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+1}*sinx \end{eqnarray*}$ :

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