stetig/unstetige funktion

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20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »
stetig/unstetige funktion
Konstruieren Sie eine Funktion , die stetig auf und unstetig sonst ist.

Ich habe schon zwei Funktionen gefunden (bzw. bei anderen gesehen Augenzwinkern ):




oder



mit



und



ich weiß aber leider nicht, wie ich beweisen kann, dass diese funktionen die oben genannte bedingung erfüllen, wäre nett, wenn jemand helfen würde.
mfG 20
4c1d Auf diesen Beitrag antworten »

zum ersten : Betrachte beliebige gegen konvergente Folgen und zeige, dass für immer gegen 0 konvergiert. Dann wähle ein x, das nicht in M liegt und suche 2 Folgen (rational/irrational), die unterschiedliche Grenzwerte haben.
Beim zweiten funktioniert es fast genauso.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zur ersten Funktion: Mache das ganze exemplarisch für . Für die anderen Punkte geht es analog. Zunächst gilt (Warum?). Nimm dir nun eine beliebige Folge , die gegen konvergiert. Enthält die Folge nur endlich viele rationale bzw. irrationale Zahlen, so besteht sie ab einer Stelle nur noch aus irrationalen bzw. rationalen Zahlen. Zeige dann für . Enthält sie aber sowohl unendlich viele rationale als auch irrationale Zahlen, so kannst du sie in zwei Teilfolgen und aufteilen, wobei dir erste nur aus rationalen und die zweite nur aus irrationalen Zahlen besteht. Dann gilt auch und du kannst dann wieder zeigen, dass gilt:

.

Damit bist du fertig, was die Stetigkeit in den Punkten angeht. Für die Unstetigkeit in einem anderen Punkt musst du eben eine entsprechende Folge angeben, die gegen konvergiert, für die aber nicht gegen konvergiert.

Gruß MSS
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

danke schonmal.

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Zur ersten Funktion: Mache das ganze exemplarisch für . Für die anderen Punkte geht es analog. Zunächst gilt (Warum?).


da es egal ist, ob irrational oder rational ist, da alle irrationalen zahlen auf 0 gehen und die rationale zahl eine nullstelle des polynoms wäre, ist immer 0.

Zitat:

Nimm dir nun eine beliebige Folge , die gegen konvergiert. Enthält die Folge nur endlich viele rationale bzw. irrationale Zahlen, so besteht sie ab einer Stelle nur noch aus irrationalen bzw. rationalen Zahlen. Zeige dann für .

1. nur endlich viele rationale zahlen:
ist ab einer gewissen stelle immer 0, konvergiert also gegen 0.
2. nur endlich viele irrationale zahlen:
da weiß ich nicht genau, wie ich das beweisen soll...

Zitat:

Enthält sie aber sowohl unendlich viele rationale als auch irrationale Zahlen, so kannst du sie in zwei Teilfolgen und aufteilen, wobei dir erste nur aus rationalen und die zweite nur aus irrationalen Zahlen besteht. Dann gilt auch und du kannst dann wieder zeigen, dass gilt:

.


hier ist klar, dass der grenzwert von f von der folge, die nur aus irrationalen zahlen besteht =0 ist.
Bei den rationalen stehe ich vor demselben problem...

mfG 20
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ist erstmal richtig, was du gesagt hast. Das ist eigentlich nur ein Grenzwertsatz bei den rationalen Zahlen. Du kannst das ja erstmal einsetzen:

.

Wogegen geht der erste Faktor? Wogegen gehen die anderen Faktoren? Wogegen geht damit das gesamte Produkt?

Gruß MSS
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

gut, mit den grenzwertsätzen geht also die erste klammer gegen 0 und alle anderen gegen eine beliebige rationale zahl.
damit wäre doch der erste teil der aufgabe schon geschafft, oder?
ich übersehe bestimmt wieder was...
mfG 20
 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, gegen eine rationale Zahl gehen die Klammern nicht unbedingt. Das kommt darauf an, ob die einzelnen Zahlen aus rational oder irrational sind. Übrigens war meine Bezeichnung der Folge schlecht, da sie sich mit den Zahlen aus überschneidet. Ich habe sie mal geändert.
Du musst jetzt natürlich noch zeigen, dass in allen anderen Punkten unstetig ist. Die Stetigkeit in den Punkten von hast du jetzt gezeigt.

Gruß MSS
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Die Stetigkeit in den Punkten von hast du jetzt gezeigt.
Gruß MSS


naja, ich *g* vielen dank soweit.

für ein rationales x:

kann ich einfach eine folge von irrationalen zahlen definieren, die gegen eine rationale zahl gehen? Oder muss ich diese explizit angeben?
f von der folge ist ja dann immer 0, damit also auch der GW, also ungleich der grenzwert der eigentlichen folge.

für ein irrationales x: entsprechend.

mfG 20
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Die Idee ist gut. Es kommt darauf an, was ihr schon so behandelt habt. Z.B. gibt es folgenden Satz: Für jede irrationale (sogar für jede reelle) Zahl gibt es eine Folge von rationalen Zahlen, die gegen konvergiert. Und entsprechend gibt es für jede rationale Zahl eine Folge irrationaler Zahlen, die gegen konvergiert.
Falls ihr das schon hattet, kannst du das voraussetzen und einfach anwenden. Dann musst du also keine Folge explizit angeben.

Gruß MSS
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

haben diese sätze namen?
ich hab nur das hier gefunden:

Zwischen zwei verschiedenen reellen Zahlen liegen überabzählbar viele irrationale Zahlen.

Aber das bringt hier wohl nichts...

Wie kann man diese Sätze beweisen, dauert das lange (ich muss das morgen abgeben, es lohnt sich nicht, da noch viel zu investieren, wenn dann am WE...)?
Oder gibt es eine andere möglichkeit?

mfg 20
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, Namen dafür kenne ich nicht. Eine Folge rationaler Zahlen, die gegen eine irrationale Zahl konvergiert, kann man auch explizit angeben, siehe hier. Für eine Folge irrationaler Zahlen, die gegen eine beliebig vorgegebene rationale Zahl konvergiert, kannst du z.B.



nehmen.

Gruß MSS
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