analyt. Geometrie, Beweis für ein rechtwinkliges Dreieck

18.05.2008, 20:40	Dalice66	Auf diesen Beitrag antworten »
analyt. Geometrie, Beweis für ein rechtwinkliges Dreieck Hallo Leute, ich soll folgende Aufgabe lösen: Zeigen sie bitte, dass die drei Vektoren $\begin{eqnarray} a=\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b=\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c=\begin{pmatrix} -1 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ein rechtwinkliges Dreieck bilden. Nun habe ich das Skalarprodukt von a*b errechnet und 0 als Lösung erhalten. Damit sind die Vektoren orthogonal und bilden ein rechten Winkel. Reicht das als Beweis schon aus? ehhm, nochmal eine Frage, was muss ich in Latex eingeben, wenn ich über den Buchstaben einen Vektorstrich erhalten möchte?
18.05.2008, 20:43	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Damit sie überhaupt erstmal ein Dreieck bilden, müssen sie noch einen geschlossenen Vektorzug darstellen D.h. es muss $\begin{eqnarray} ra+sb+tc = 0 \end{eqnarray}$ mit geeigneten $\begin{eqnarray} r,s,t \in \{ -1,1 \} \end{eqnarray}$ gelten.
19.05.2008, 10:23	Dalice66	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, aus dem Stehgreif sehe ich folgende Vektorkette: $\begin{eqnarray} ra+sb+tc = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}+1\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+(-1)\begin{pmatrix} -1 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix}=0 \end{eqnarray}$ Somit habe ich eine geschlossene Vektorkette. Es ginge auch anders herum...(-,-,+) Nur aus was und wie setzt sich $\begin{eqnarray} r,s,t \in \{ -1,1 \} \end{eqnarray}$ zusammen. Wenn wir in der Vergangenheit geschlossene Vektorketten ausgerechnet haben, brauchten wir $\begin{eqnarray} r,s,t \in \{ -1,1 \} \end{eqnarray*}$ nicht zu beachten, bzw. unsere Lehrerin hat davon nichts erwähnt. Wie ist das geometrisch zu verstehen?
19.05.2008, 15:54	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Bedingung muss erfüllt sein, damit man die drei Pfeile, die man sich als Vektoren vorstellen kann, direkt aneinanderreihen kann, sodass sie halt ein Dreieck bilden. Mit anderen Worten, wenn man 2 Vektoren aneinander reiht, dann muss der dritte genau "dazwischen passen". Dabei darf man halt die Pfeile umdrehen, aber ihre Länge nicht verändern. Deswegen habe ich gefordert, dass die Vektoren nur mit -1 oder 1 multipliziert werden.
19.05.2008, 22:20	Dalice66	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, ok, danke ....

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