Wo ist der Fehler im Beweis ? |
20.01.2006, 15:41 | Ivo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wo ist der Fehler im Beweis ? Der folgende Beweis, erscheint für einen Leien wie mich einleuchtend, verbirgt jedoch einen eklatanten Fehler. Vermutungen, an welcher Stelle der Fehler auftaucht habe ich bereits, doch möchte ich bei so fundamentalen Dingen der mathematischen Beweisführung keine voreiligen Schlüsse ziehen. Und zwar ... Behauptung : Wenn eine Relatin symmetrisch uns transitiv ist, ist sie automatisch auch reflexiv und somit eine Äquivalenzrelation Beweis : Sei ~ eine symmetrische und transitive Relation. Es gelte x ~ y. Wegen der Symmetrie folgt : x ~ y , y ~ x. Aufgrund der Transitivität folgt x ~ x. Also ist x reflexiv Natürlich ist der Beweis fehlerhaft, nur wo ist der Fehler versteckt ? |
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20.01.2006, 15:49 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das ist einfach tatsächlich gilt für jedes x, für das ein bel. y mit x~y gibt, x~x aber diese formulierung gibt ja den denkfehler quasi vor |
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20.01.2006, 16:30 | Ivo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wie .. nochma ? wo liegt das problem |
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20.01.2006, 17:01 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Wo ist der Fehler im Beweis ?
Fehler im Beweis rot markiert Damit * reflexiv ist, muss x~x für jedes x gelten. Du wählst hier aber schon ein spezielles x, nämlich eins, dass zu einem anderen Element in Relation steht. Tipp: Wenn du in einem Beweis "Sei das und das erfüllt" oder "wähle ein x mit der Eigenschaft..." benutzt, dann musst du auch begründen (können), warum/dass es ein solches gibt. Gruß vom Ben |
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20.01.2006, 17:29 | Ivo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
verstehe ... also das problem bei diesem beweis ist, dass er nur für ein spezielles x gilt, jedoch nicht für ein beliebiges |
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20.01.2006, 17:47 | Ace Piet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
> also das problem bei diesem beweis ist, dass Du voraussetzt, dass alle Elemente eine "Beziehung" eingehen. Wenn Du Dir für eine Menge M eine Relationstabelle anfertigst... ...a b c ... ____________________ a | b |. . X c | . . und in die Tabelle Kreuzchen (=X) malst, wenn etwa b ~ c, dann sichert Dir die Reflexion, dass die Diagonale (a,a); (b,b)... STETS ein X hat. Da aber in der Tabelle auch freie Stellen sind(!), dh. a,c müssen keine Beziehung haben, d.h. a~c existiert nicht, kommst Du auch nicht an die Diagonale ran. Eine Äquivalenzrelation ~ ist eine Verallgemeinerung von =, nämlich "= bzgl. einer Eigenschaft". Insbesondere = sollte also eine Äquivalenzrealtion sein... Deshalb ist die Forderung nach Refexion sinnvoll (und wie oben angespr. nicht überflüssig). |
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20.01.2006, 18:09 | Ivo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wo ist der Fehler im Beweis ? also Moment, ganz langsam .. ihr verwirrt mich n bisschen Also .. Voraussetzunen sind folgende auf einer Menge ist eine Relation definiert. Diese Relation sei symmetrisch und transitiv. Weiter seien beliebig, und steht in Relation zu . Da symmetrisch ist, gilt . Da transitiv ist, gilt Daraus lässt sich die schlussfolerung ziehen, ist auch reflexiv. SO .. da nun reflexiv, symmetrisch und transitiv gezeigt wurde, kann man sagen, dass eine Äquivalenzrelation ist. ... ok was stimmt damit nicht ? erscheibt mir sehr einleuchtend |
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20.01.2006, 19:03 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Wo ist der Fehler im Beweis ?
Für ein beliebiges x muss es kein y geben mit x~y! Edit: Anders formuliert: Bei einer nicht reflexiven Relation kann es ein x geben, dass zu keinem anderen Element in Relation steht. |
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20.01.2006, 19:45 | Ace Piet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Wo ist der Fehler im Beweis ? @Ivo > Weiter seien x,y aus M beliebig, und x steht in ~Relation zu y Wie schon mehrfach angesprochen, gehst Du fälschlicherweise davon aus, dass ALLE x,y eine Beziehung haben. Mit der Relations-Tabelle vor Augen bedeutet das, dass in der Tabelle NUR Kreuzchen und keine Leerstellen sind. - In einer solchen Tabelle wären auch die Forderungen nach Symmetrie und Transitivität überflüssig, sie würden sich ja keine neuen Beziehungpäärchen ergeben, es wäre ja x~y für alle. Wenn Du das Standardbsp. "=" als Äquivalenzrelation nachvollziehst, bedeutet "Beziehung für alle" bei den reellen Zahlen, dass alle gleich sind. Bei der Forderung x~y => y~x (ausgesprochen: WENN x~y , dann y~x) übersiehst Du das WENN. Es muss ein Kreuzchen in der Tabelle bei (x,y) geben, um sicher zu sein, dass auch eines bei (y,x) ist. Was nebenher bedeutet, dass diese Tabelle spiegelsymmetrisch bzgl. der Hauptdiagonalen ist. Die Forderung bzgl. Refexivität lautet dagegen anders: Für ALLE x aus M gelte x~x. - Man will also die komplette Hauptdiagonale (von M x M) erfasst wissen, sprich jedes x aus M hat mindestens eine Beziehung mit sich selbst. |
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20.01.2006, 19:52 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
um das auf en punkt zu bringen: hat dein element x EIN BELIEBIGES element y mit x~y, dann muss gleich x~x gelten, wie du oben gesagt hast hast du also die zusatzforderung, das jedes element mit einem anderen in relation steht, dann stimmt dein beweis. allerdings kann es ein (oder mehrere) elemente geben, die einfach mit keinem element in relation stehen, dann gibt es dieses y aus deinem beweis nicht als ganz konkretes beispiel wäre vielleicht die LEERE RELATION zu nennen, also kein element steht in relation mit einem zweiten. prüfe nach: reflexivität nicht erfüllt, aber symmetrie und transitivität erfüllt noch ein Beispiel: M={1,2}, R Relation auf MxM; IR={(1,1)} |
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20.01.2006, 20:18 | Ivo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ahaa .. so langsam klingelts .. ich bedanke mich bei allen für ihre ausführlichen antworten. |
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