Notationsproblem (Substitutionselastizität)

20.01.2006, 19:54

benni

Notationsproblem (Substitutionselastizität)

Folgendes, mehr oder weniger kleines Problem.

Es handelt sich eigentlich um Mikroökonomik, da es aber ein mathematisches problem ist, frag ich hier.

Also, es gibt in der Wirtschaft eine sog. Substitutionselastizität. Sie gibt mehr oder minder an, wie das Einsatzverhältniss zweier Produktionsfaktoren verändert werden kann.

Die Formel lautet:

$\begin{eqnarray*} SE = \frac{ \frac{d (\frac{v1}{v2}) }{ (\frac{v1}{v2} )} }{\frac{d GRS}{GRS} } \end{eqnarray*}$

wobei v1 und v2 für die Einsatzmengen des Gutes 1 bzw. 2 steht

wobei GRS, Grenzrate der Substitution, ein anderer Faktor ist, der einfach mal als gegeben angenommen wird.

Es gibt auch eine zweite Formel dafür, die über die preise der Güter geht. Diese lautet:

$\begin{eqnarray*} SE = \frac{ \frac{d (\frac{v1}{v2}) }{ (\frac{v1}{v2} )} }{\frac{d ( \frac{p1}{p2}) }{ (\frac{p1}{p2}) } } \end{eqnarray*}$

p1 steht für preis des gutes 1, u.s.w.
mein problem nun:
was hat es mit dem d auf sich? wie berechne ich soetwas?

Mir ist klar, das z.B. dy/dx die Ableitung der Funktion nach x bedeutet, aber was fange ich mit diesem d vor der Klammer an?

Hoffe mir kann jemand helfen.

Als Beispiel eine Übungsaufgabe aus dem Skript.

Darin lautet eine Funktion z.b.
$\begin{eqnarray*} x = v1^{2} * v2^{0,5} \end{eqnarray*}$
mit x als output, also dem was das Unternehmen hergestellt hat.
GRS wäre

$\begin{eqnarray*} \frac{v1}{4 * v2} \end{eqnarray*}$

20.01.2006, 20:17

Ben Sisko

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RE: Notationsproblem (Substitutionselastizität)

Zitat:

Original von benni
Mir ist klar, das z.B. dy/dx die Ableitung der Funktion nach x bedeutet, aber was fange ich mit diesem d vor der Klammer an?

Das heisst hier nichts anderes. $\begin{eqnarray*} d(\frac{v_1}{v_2}) \end{eqnarray*}$ heisst nichts anderes als $\begin{eqnarray*} \frac{d v_1}{d v_2} \end{eqnarray*}$ .

Du brauchst also eine Funktion $\begin{eqnarray*} v_1(v_2) \end{eqnarray*}$ . Behandle beim Auflösen nach $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ das x wie eine Konstante!

Hilft dir das?

Gruß vom Ben

20.01.2006, 20:21

benni

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RE: Notationsproblem (Substitutionselastizität)
muss es nachher durchrechnen obs dann stimmt, aber falls ja, hilfts mir Augenzwinkern

Danke auf jedenfall schonmal

20.01.2006, 20:57

benni

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das klappt einfach nit.

Hier mal etwas wo du es mir vielleicht direkt erklären könntest:

Also :

Das ist gegeben.
Die Grenzrate der Substitution, hab ich berechnet und steht auch so im buch, ist also richtig.
$\begin{eqnarray*} GRS = \frac{b}{a} * \frac{v1}{v2} \end{eqnarray*}$

Ferner gilt :
Dies ist die Ausgangsfunktion, also Der Output des Unternehmens.

$\begin{eqnarray*} x = a * v1^{a} * v2^{b} \end{eqnarray*}$

So, und nun steht hier folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac{d * (\frac{v1}{v2}) }{d GRS} = [ \frac{d GRS}{d * (\frac{v1}{v2}) } ]^{-1} = \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$

Schritt 1 ist klar, Umstellung von Zähler und Nenner durch potenzieren mit -1. Ok, aber nun, das ausrechnen. Wie kommen die auf a/b ??

20.01.2006, 22:08

Abakus

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RE: Notationsproblem (Substitutionselastizität)

Zitat:

Original von Ben Sisko
Das heisst hier nichts anderes. $\begin{eqnarray*} d(\frac{v_1}{v_2}) \end{eqnarray*}$ heisst nichts anderes als $\begin{eqnarray*} \frac{d v_1}{d v_2} \end{eqnarray*}$ .

Das haut nicht hin unglücklich

. Das d ist ein Differential, mit dem letztendlich genauso gerechnet wird, wie mit der Ableitung (es ist etwas gewöhnungsbedürftig). Hier wäre die Quotientenregel anzuwenden:

$\begin{eqnarray*} d(\frac{v_1}{v_2}) = \frac{dv_1 \cdot v_2 - v_1 \cdot dv_2}{v_2^2} \end{eqnarray*}$

Grüße Abakus smile

20.01.2006, 22:16

benni

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RE: Notationsproblem (Substitutionselastizität)

Zitat:

Original von Abakus

Das haut nicht hin unglücklich

Soweit verstanden, aber zu welcher Variable leite ich dann dv1 bzw. dv_2 ab? Weil in der Funktion sind ja 3, x, v1 und v2

20.01.2006, 22:30

Ben Sisko

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RE: Notationsproblem (Substitutionselastizität)

Zitat:

Original von Ben Sisko
Das heisst hier nichts anderes. $\begin{eqnarray*} d(\frac{v_1}{v_2}) \end{eqnarray*}$ heisst nichts anderes als $\begin{eqnarray*} \frac{d v_1}{d v_2} \end{eqnarray*}$ .

Also das war schon einmal falsch, sorry dafür.
Hier wird das Faktoreinsatzverhältnis sozusagen als eine Variable betrachtet.

$\begin{eqnarray*} \frac{dGRS}{d\frac{v_1}{v_2}} \end{eqnarray*}$ heisst jetzt: Leite die GRS nach $\begin{eqnarray*} \frac{v_1}{v_2} \end{eqnarray*}$ ab! (Danach musst du dann noch den Kehrwert bilden.)

Vielleicht hilft es dir auch $\begin{eqnarray*} \frac{v_1}{v_2} \end{eqnarray*}$ zu substituieren.

20.01.2006, 22:34

Abakus

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Wonach du ableitest bzw. das $\begin{eqnarray*} dv_1 \end{eqnarray*}$ auflöst, hängt davon ab, wovon es abhängig ist. Du könntest zB schreiben: $\begin{eqnarray*} dv_1 = v_1'(x) \cdot dx \end{eqnarray*}$ .

Hier ist das jedoch nicht nötig, weil das Differential linear ist und sich einfach herauskürzt:

$\begin{eqnarray*} \frac{d(\frac{v1}{v2}) }{d(GRS)} = \frac{d(\frac{v1}{v2}) }{d(\frac{b}{a}\cdot\frac{v1}{v2})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{d(\frac{v1}{v2}) }{\frac{b}{a} \cdot d(\frac{v1}{v2})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{\frac{b}{a}} = \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$

Grüße Abakus smile

20.01.2006, 22:41

benni

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aaah ok, danke dir!!! smile

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