Aufgabenkomplex: Ebenen, Geradenscharen, Pyramiden, Kugeln

21.01.2006, 12:10

professor

Aufgabenkomplex: Ebenen, Geradenscharen, Pyramiden, Kugeln

Hallo!

Ich habe eine grössere Aufgabe mit mehreren Unteraufgaben zu bearbeiten und wollte wissen, ob alles korrekt ist was ich da schon gerechnet habe. Wenn es Formfehler gibt, könnt ihr darauf hinweisen? Die Aufgabenstellungen habe ich jeweils fett geschrieben:

/edit: Aufgaben erledigt

21.01.2006, 13:11

sqrt(2)

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RE: Aufgabenkomplex: Ebenen, Geradenscharen, Pyramiden, Kugeln
Was mir jetzt beim schnellen darüberlesen aufgefallen ist:

Zitat:

Original von professor
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \otimes \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ;

Die dritte Komponente solltest du noch einmal überprüfen.

Zitat:

Original von professor
$\begin{eqnarray*} x: 2x_1 -2x_2 +4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y: 2x_1 -2x_2 +10 \end{eqnarray*}$

Das sind keine Ebenengleichungen (wo ist die Gleichung?); Ebenen bezeichnet man übrigens üblicherweise mit Großbuchstaben.

Zitat:

Original von professor
für c = -4 ergibt das Skalarprodukt 0, somit ist $\begin{eqnarray*} g_c \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mid \mid \end{eqnarray*}$ E.

Nein, $\begin{eqnarray*} g_{-4}||E \end{eqnarray*}$ . Was mit allen $\begin{eqnarray*} c\neq-4 \end{eqnarray*}$ ist, musst du noch sagen (und evtl. den Schnittpunkt bestimmen, das geht aus der Aufgabe nicht hervor.)

Zitat:

Original von professor
c) Die Ebene F enthalte die $\begin{eqnarray*} x_3 -Achse \end{eqnarray*}$ und die Geradenschar $\begin{eqnarray*} g_c \end{eqnarray*}$ von b).
Bestimme eine Gleichung von F.

Hier ist deine Vorgehensweise komplett falsch. Du musst dir klarmachen, dass alle Geraden der Geradenschar schon eine Ebene bilden, in der nur noch die $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ -Achse fehlt. (Siehe Anhang.)

Zitat:

Original von professor
Schnittpunkte mit Koordinatenachsen:

Das geht schneller, wenn du die Ebene in die Achsenabschnittsform $\begin{eqnarray*} \frac{x_1}{a}+\frac{x_2}{b}+\frac{x_3}{c}=1 \end{eqnarray*}$ bringst (indem du die ganze Gleichung durch $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ teilst), $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ sind dann die Achsenabschnitte.

Zitat:

Original von professor
Ich habe das mal skizziert (ich hoffe es ist richtig):

Deine Achsenbezeichnung ist sehr ungewöhnlich. Normalerweise bezeichnet man die Tiefachse mit $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ , die Längsachse mit $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ und die Hochachse mit $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von professor
Das ergibt eine "schiefe" Pyramide (eigtl. Tetraeder?!)

Eine schiefe Pyramide ja, einen Tetraeder nein (ein Tetraeder hat nur gleichseitige Dreiecke als Flächen).

Zitat:

Original von professor
Ergibt dann: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \mid -8 \mid ) \cdot 16 = 170\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

Das ist richtig.

Zitat:

Original von professor
Die folgenden Aufgaben habe ich noch nicht bearbeitet. Habt ihr Tipps zur Vorgehensweise?
. $\begin{eqnarray*} \beta) \end{eqnarray*}$ Berechne die Oberfläche von P.

Du musst eben alle Seitenflächen berechnen und addieren, die Formeln aus der Elementargeometrie gelten natürlich auch hier.

Zitat:

Original von professor
. $\begin{eqnarray*} \gamma) \end{eqnarray*}$ Zeige, daß F Symmetireebene von P ist.

Wenn du die Eckpunkte der Pyramide spiegelst, muss der Bildpunkt dann auf einem anderen Eckpunkt der Pyramide liegen.

Zitat:

Original von professor
. $\begin{eqnarray*} \delta) \end{eqnarray*}$ Prüfe, ob $\begin{eqnarray*} S (3|-3|3) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T (3|-3|5) \end{eqnarray*}$ in der Pyramide liegen.

Es reicht hier, wenn du die Lage in Bezug auf E überprüfst (Skizze).

Zitat:

Original von professor
. $\begin{eqnarray*} \epsilon) \end{eqnarray*}$ Es gibt eine Kugel in P, die alle vier Seitenflächen berührt. Berechne Radius und Mittelpunkt dieser Kugel.

Überlege, auf welcher Geraden dieser Mittelpunkt liegen muss (Abstand von den Koordinatenebenen), dann kannst du wieder mit dem Abstand zu F und einer Koordinatenebene argumentieren, um den Mittelpunkt zu finden.

Zitat:

Original von professor
e) Welche Schargeraden con $\begin{eqnarray*} g_c \end{eqnarray*}$ berühren eine Kugel um $\begin{eqnarray*} M (2|-2|2) \end{eqnarray*}$ mit Radius 2 ? Berechne die Berührpunkte.

Einfach die Geradenschar in die Kugelgleichung einsetzen.

21.01.2006, 18:28

professor

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Danke für die grossartige Hilfe!

/edit: Aufgaben erledigt

21.01.2006, 19:12

sqrt(2)

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Zitat:

Original von professor
$\begin{eqnarray*} X: 2x_1 -2x_2 -x_3 +4 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Y: 2x_1 -2x_2 -x_3 +10 = 0 \end{eqnarray*}$

Du hast die Ebene gebildet, die Q enthält und dann d um drei Einheiten in beide Richtungen verändert. Das geht aber nur, wenn du E in HNF hast sonst musst du um $\begin{eqnarray*} 3|\vec{n}| \end{eqnarray*}$ ändern, statt nur um 3.

Zitat:

Original von professor
c) Die Ebene F enthalte die $\begin{eqnarray*} x_3 -Achse \end{eqnarray*}$ und die Geradenschar $\begin{eqnarray*} g_c \end{eqnarray*}$ von b).
Bestimme eine Gleichung von F.

Zitat:

Original von sqrt(2)
Hier ist deine Vorgehensweise komplett falsch. Du musst dir klarmachen, dass alle Geraden der Geradenschar schon eine Ebene bilden, in der nur noch die $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ -Achse fehlt. (Siehe Anhang.)

Beziehst du dich mit der $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ -Achse auf meine Skizze oder meinst du damit die Hochachse ?

Wie aus der angehängten Grafik zu erkennen ist, die Hochachse.

Zitat:

Original von professor
So wie ich das verstanden habe ist die $\begin{eqnarray*} x_3 - Achse \end{eqnarray*}$ eine mögliche Gerade der Geradenschar ?

Die $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ -Achse gehört nicht zur Geradenschar, aber wenn man sie zur Geradenschar hinzunimmt, erhält man eine Ebene.

Zitat:

Original von professor
$\begin{eqnarray*} g_c: \vec{x} = t \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Daraus muss irgendwie das c "herausgenommen" und vor einen zweiten Vektor gestellt werden...

So vielleicht?
$\begin{eqnarray*} \vec{F} : \vec{x} = t \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was genau du gemacht hast, solltest du schon schreiben. Die Vorgehensweise ist, zwei beliebige Geraden aus der Schar zu nehmen (die $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ -Achse geht auch), du hast die $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ -Achse und die Gerade $\begin{eqnarray*} g_0 \end{eqnarray*}$ genommen. Beide liegen in der Ebene und ihre Richtungsvektoren daher Spannvektoren der Ebene. Du hast das mit

Zitat:

Original von professor
Achsenabschnittsform:
$\begin{eqnarray*} E: 2x_1 - 2x_2 + x_3 - 16 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E: -\frac{2x_1}{16} + \frac{2x_2}{16} - \frac{x_3}{16} = 0 \end{eqnarray*}$

Es fehlt ein $\begin{eqnarray*} +1 \end{eqnarray*}$ und warum hast du durch $\begin{eqnarray*} -d \end{eqnarray*}$ geteilt? Die Vorzeichen deiner Achsenabschnitte sind deshalb falsch, das Volumen bleibt aber dennoch richtig.

Zitat:

Original von professor
. $\begin{eqnarray*} \beta) \end{eqnarray*}$ Berechne die Oberfläche von P.
$\begin{eqnarray*} \vec{B} = \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} ; \vec{BC} = \begin{pmatrix} -8 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da ist ein Vorzeichenfehler, abgesehen davon, dass durcch deinen Fehler oben die Vorzeichen der Achsenabschnitte für $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ falsch sind (und du auch $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ falsch aus der Achsenabschnittsform falsch abgelesen hast, sodass das Vorzeichen von $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ wieder richtig ist.)

Zitat:

Original von professor
für S:
$\begin{eqnarray*} E: 2 \cdot 3 - 2 \cdot (-3) + 3 - 16 = -1 \end{eqnarray*}$ (im negativen Halbraum?)

für T:
$\begin{eqnarray*} E: 2 \cdot 3 - 2 \cdot (-3) + 5 - 16 = 1 \end{eqnarray*}$ (im positiven Halbraum?)

Wenn du die richtigen Eckpunkte der Pyramide hast, kannst du an den Koordinaten feststellen, dass sowohl T als auch S im richtigen Achtel des Koordinatensystems liegen. Du hast jetzt festgestellt, dass S und T auf unterschiedlichen Seiten der Ebene liegen. Vergleiche das jeweilige Vorzeichen mit dem Vorzeichen, das du erhältst, wenn du den Koordinatenursprung einsetzst, um festzustellen, ob der Punkt in der Pyramide liegt.

21.01.2006, 22:50

Poff

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RE: Aufgabenkomplex: Ebenen, Geradenscharen, Pyramiden, Kugeln

Zitat:

Original von professor
Das ergibt eine "schiefe" Pyramide (eigtl. Tetraeder?!)

Eine schiefe Pyramide ja, einen Tetraeder nein (ein Tetraeder hat nur gleichseitige Dreiecke als Flächen).

Tetraeder ist richtig, müssen keine gleichseitigen Dreiecke sein.

21.01.2006, 23:08

sqrt(2)

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Zitat:

Original aus Wikipedia
Das Wort wird jedoch nur selten in dieser allgemeinen Bedeutung gebraucht. Meist ist mit Tetraeder das regelmäßige (oder gleichseitige) Tetraeder gemeint, während das allgemeine Tetraeder als dreiseitige Pyramide oder dreidimensionaler Simplex bezeichnet wird.

Recht hast du natürlich trotzdem.

21.01.2006, 23:27

Poff

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Leopold ist auch dieser Meinung

22.01.2006, 17:08

professor

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/edit: Aufgaben erledigt

22.01.2006, 18:27

Poff

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Zitat:

Original von professor
Die Achsenabschnittsform der Ebene:

E: $\begin{eqnarray*} \frac{x_1}{8} + \frac{x_2}{-8} + \frac{x_3}{16} = 1 \end{eqnarray*}$
Stimmt diese nun endlich?

Daraus die Eckpunkte B(0|-8|0), C(8|0|0), D(0|0|16) (und A(0|0|0) )

Stimmen die?

In das Sonstige will ich mich nicht reimischen, aber das sollte nun
stimmen. Wo war das Problem ?

2*x1-2*x2+x3-16=0
2*x1-2*x2+x3 =16
1/16*(2*x1-2*x2+x3 ) = 1

mit 1/(2*1/16) = x1-Abschnitt
mit 1/(-2*1/16) = x2-Abschnitt
mit 1/(1*1/16) = x3-Abschnitt

22.01.2006, 20:29

professor

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ok danke. also stimmt's soweit.

Und weiter im Text:

/edit: Aufgaben erledigt

24.01.2006, 22:04

sqrt(2)

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Zitat:

Original von professor
$\begin{eqnarray*} E: 2 \cdot 0 - 2 \cdot 0 + 0 - 16 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E: 0 = 16 ? \end{eqnarray*}$ also positiv?
Und heisst das, dass T im Tetraeder liegt? (da T im Positiven Halbraum bzgl. E liegt?)

Es geht hier nicht wirklich um eine Gleichung (0 = 16 ist natürlich Unsinn, abgesehen davon, dass es -16 lauten sollte). Es geht darum, dass, wenn du in die linke Seite der Ebenengleichung zwei Punkte einsetzst und die resultierenden Zahlen das gleiche Vorzeichen haben, beide Punkte auf der gleichen Seite der Ebene liegen. Da wir wissen, dass der Ursprung in (bzw. am Rand der) Pyramider liegt, ist zu überprüfen, ob S und T das gleiche Vorzeichen ergeben wie der Ursprung.

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