cos(0)+cos(x)+cos(2x)+...

21.01.2006, 13:09

Marcyman

cos(0)+cos(x)+cos(2x)+...

Soll folgenden Term 'berechnen'

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~\cos(kx) \end{eqnarray*}$

Mir ist nichts besseres eingefallen als so umzuformen:

$\begin{eqnarray*} \cos(kx)=({e^{ix}})^{k}+({e^{-ix}})^{k}=(\cos(x)+i\sin(x))^k+(\cos(x)-i\sin(x))^k \end{eqnarray*}$

und jetzt auf die einzelnen Summanden den binomischen Lehrsatz anwenden.

Komme dann insgesamt auf
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~a_{k} \end{eqnarray*}$

wobei

$\begin{eqnarray*} a_{k}=\sum_{1\leq 2l \leq k}\cos(x)^{2l}i\sin(x)^{k-2l} \end{eqnarray*}$ falls k gerade, l e N

und

$\begin{eqnarray*} a_{k}=\sum_{1\leq 2l-1 \leq k}\cos(x)^{2l-1}i\sin(x)^{k-2l+1} \end{eqnarray*}$ fall k ungerade, l e N.

Was meint ihr?

EDIT: Hab gerade bei Derive gesehen dass da ein einfacherer Term rauskommt, jemand ne Idee?

21.01.2006, 15:26

klarsoweit

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RE: cos(0)+cos(x)+cos(2x)+...

Zitat:

Original von Marcyman
$\begin{eqnarray*} \cos(kx)=({e^{ix}})^{k}+({e^{-ix}})^{k} \end{eqnarray*}$

1. fehlt rechts der Faktor 1/2
2. schau dir mal die geometrische Reihe an. Augenzwinkern

21.01.2006, 16:20

Marcyman

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Hab jetzt folgendes raus:
$\begin{eqnarray*} -\frac{\cos(nx)-\cos((n+1)x)-\cos(x)+1}{2(\cos(x)-1)} \end{eqnarray*}$

Stimmt leider immer noch nich mit dem Ergebnis von derive überein. Wenn ich die geo. Summenformel auf e^(ix)^k anwende, komme ich doch auf

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{i(n+1)x}-1}{e^{ix}-1} \end{eqnarray*}$ , richtig?

21.01.2006, 17:00

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Marcyman
Stimmt leider immer noch nich mit dem Ergebnis von derive überein.

Das hat nichts zu heißen. Oft lässt sich das ineinander überführen. Was hat denn Derive?

Gruß MSS

21.01.2006, 17:31

Marcyman

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$\begin{eqnarray*} \frac{\sin(x(n+\frac{1}{2}))}{2*\sin(\frac{x}{2})}+\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

21.01.2006, 17:43

Mathespezialschüler

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Wie ich gesagt habe: Es lässt sich ineinander überführen. Um von deinem Term auf den von derive zu kommen, ziehe den Bruch auseinander:

$\begin{eqnarray*} -\frac{\cos nx-\cos((n+1)x)-\cos x+1}{2(\cos x-1)}=\frac{\cos x-1}{2(\cos x-1)}+\frac{\cos((n+1)x)-\cos nx}{2(\cos x-1)} \end{eqnarray*}$

und benutze nun für den zweiten Bruch die beiden Formeln

$\begin{eqnarray*} \cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \cos x-1=-2\sin^2\frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ .

Die zweite ist übrigens nur ein Spezialfall der ersten.

Gruß MSS

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