Körperhomomorphismen immer injektiv?

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JochenX Auf diesen Beitrag antworten »
Körperhomomorphismen immer injektiv?
Hallo ihr Lieben,

ich hätte nur gerne eine Bestätigung einer Aussage, die ich wohl wieder als letzte bemerkt habe.
Es kam mir, als ich mir einen viel zu komplizierten Teilbeweis ausdenken wollte und plötzlich alles ganz einfach wurde.....

Stimmt es, dass jeder Körperhomomorphismus injektiv ist?

Beweis: Seien K, K' Körper, (also a Einheit, a <>0)
=> existiert a' Inverses zu a in K

sei nun Körperhomomorphismus

=>
=>
=> Kern(
also injektiv


alternativ auch einfach über die begründung:
fasse den körperhom. von K nach K' als ringhom. über dem Ring K auf; kern davon ist ein Ideal im Ring K; allerdings hat ein Körper außer dem ganzen Körper nur das Nullideal; Kern(K)=K ist nicht möglich, da 1 auf 1 abgebildet wird
=> kern ist das 0-ideal ={0}

so müsste also stimmen, habe mich vorhin nur sehr gewundert, da wir dies nie als nebenbemerkung in der vorlesung erwähnt haben.....

danke für bestätigung verwirrt
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann dir nur sagen, dass die Aussage stimmt. Deine erste Begründung verstehe ich auch noch, aber bei der zweiten hab ich keine Ahnung. Da bist du ja eher der Experte. Augenzwinkern

Gruß MSS
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dir, wie gesagt, ich hatte mich nur gewundert, dass ich diese (doch gar nicht so unbedeutende?) Eigenart der Körperhomomorphismen noch nie gehört habe, und wir die glaube ich auch noch für keinen Beweis (bis heute aufm Übungsblatt) gebraucht haben.....

Naja, aber der Beweis wirkte so echt, jetzt weiß ich wenigstens, woran ich bin.
Nochmals danke, Mr. Männerstimme smile

Gott




edit: achja, der Experte, der will ich erst noch werden, darum frage ich ja ^^
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich fand die zweite Version leichter Big Laugh
Bestätige dir also auch nochmal, dass es richtig ist Freude

Gruß vom (stimmlosen) Ben
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

natürlich auch dir danke für deine meinung, ben Wink

jetzt habe ich schon 3 bestätigungen: euch beiden und mich, wenn das nicht reicht Augenzwinkern
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