integral rechnung, anwendung

21.01.2006, 16:32

meteorologiestudent

integral rechnung, anwendung

hallo leute, mal wieder integral rechung

ich habe folgende kurve: = $\begin{eqnarray*} <br /> x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = r^{\frac{2}{3}} \end{eqnarray*}$

mit a >0
und soll mit hilfe eines kurvenintegrals deren fläche berechnen und folgende parametrisierung benutzen x=acos³t, y=asin³t.

habe mir folgende schritte überlegt: x und y ersetzen und dann über t integrieren wobei t von 0 bis geht.....
bin mir nicht sicher ob das so richtig ist? meine überlegungen richtig?
also ich bin mir da sooo unsicher.

noch eine frage wie wähle ich die integrationsgrenzen über einen kreis?
bei einem kurvenintegral oder flächen integral?
und bei nem zylinder? bei oberflächen und volumenintegral? ich kann mir sowas immer nicht vorstellen und durch zeichnen werd ich auch nicht schlauer, wäre nett wenn mir jemand bei diesen problemen helfen könnte

21.01.2006, 18:21

JochenX

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RE: integral rechnung, anwendung

Zitat:

Original von meteorologiestudent
ich habe folgende kurve: = $\begin{eqnarray*} <br /> x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = r^{\frac{2}{3}} \end{eqnarray*}$

mit a >0

a=r ??

achja noch ein allgemeiner hinweis: kein enter im latexcode, dadurch entsteht der <br/>-tag

21.01.2006, 18:41

meteorologiestudent

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RE: integral rechnung, anwendung
da bin ich in der zeile verutscht, das a>0 gilt für meine parametrisierung
und t soll von 0 bis 2pi gehen, dass kann ich ja auch rechnen aber ich weiß nicht ob das so richtig ist und deshalb hab ich gefragt

21.01.2006, 18:45

quarague

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deine Kurve umschließt eine Art Kreis, aber nicht ganz rund. Mir ist nur nicht ganzt klar was genau du berechnen willst, die umschlossene Fläche oder die Länge der Kurve?

23.01.2006, 05:28

meteorologiestudent

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den flächen inhalt soll ich berechnen

23.01.2006, 10:36

Frooke

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Zitat:

Original von quarague
deine Kurve umschließt eine Art Kreis, aber nicht ganz rund.

Gibt's dafür nicht ein Wort? Big Laugh

Du redest von a>0 und hast ein r in der Gleichung... Könntest Du mal etwas präzisieren?

23.01.2006, 14:18

Leopold

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Damit das nicht so durcheinander geht, sollte man zunächst ein paar Begrifflichkeiten klären. Eine der beiden Größen $\begin{eqnarray*} a,r \end{eqnarray*}$ fungiert als Variable, die andere als Parameter. Wenn ich meteorologiestudent richtig verstehe, soll $\begin{eqnarray*} r>0 \end{eqnarray*}$ Parameter und $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ Variable sein.

Die Kurve

$\begin{eqnarray*} x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = r^{\frac{2}{3}} \end{eqnarray*}$

ist eine sogenannte Astroide. Hierbei wird $\begin{eqnarray*} x^{\frac{2}{3}} \end{eqnarray*}$ im Gegensatz zum Üblichen auch für negative $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ erklärt, und zwar in der Bedeutung $\begin{eqnarray*} x^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x^2} \end{eqnarray*}$ . Es ist also der Inhalt $\begin{eqnarray*} F(A) \end{eqnarray*}$ der Fläche

$\begin{eqnarray*} A: \ \ x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} \leq r^{\frac{2}{3}} \end{eqnarray*}$

zu bestimmen. Und das soll wohl nicht mit Hilfe eines Bereichs-, sondern mit Hilfe eines Kurvenintegrals erfolgen.

Jetzt weiß ich nicht, ob der Cartansche Kalkül der alternierenden Differentialformen vorausgesetzt werden darf (falls nein, siehe weiter unten). Denn dann sagt der Stokessche Satz für eine Differentialform $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} \partial{A} \end{eqnarray*}$ der positiv orientierte Rand von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist:

$\begin{eqnarray*} \int_{A}^{}~\mathrm{d} \omega \ = \ \int_{\partial{A}}^{}~\omega \end{eqnarray*}$

Und wenn man hier speziell $\begin{eqnarray*} \omega = \frac{1}{2} \left( -y \, \mathrm{d}x + x \, \mathrm{d}y \right) \end{eqnarray*}$ wählt, so folgt $\begin{eqnarray*} \mathrm{d} \omega = \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y \end{eqnarray*}$ oder mit anderen Worten:

$\begin{eqnarray*} \text{(*)} \ \ \ F(A) = \int_{A}^{}~\mathrm{d}(x,y) \ = \ \frac{1}{2} \int_{\partial{A}}^{}~\left( -y \, \mathrm{d}x + x \, \mathrm{d}y \right) \end{eqnarray*}$

Und das rechte Kurvenintegral berechnet dann den Flächeninhalt. Es kann mit der Parametrisierung

$\begin{eqnarray*} x = r \cos^3{t} \, , \ \ y = r \sin^3{t} \ \ (0 \leq t \leq 2 \pi) \end{eqnarray*}$

berechnet werden.

Falls der Stokessche Satz in dieser Form nicht geläufig ist, läuft die Gleichung $\begin{eqnarray*} \text{(*)} \end{eqnarray*}$ in der Vorlesung vielleicht auch als Anwendung des Greenschen Satzes. Einfach einmal im Skript nachschauen.

Die Variable $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ wird hier überhaupt nicht benötigt, da das Bereichsintegral ja gleich in ein Kurvenintegral transformiert wurde. Falls ich aber das Ganze überhaupt falsch verstanden habe und das Bereichsintegral direkt ausgewertet werden soll, so bewerkstelligt man dies am besten über Einführung von neuen Koordinaten (den Polarkoordinaten verwandt). Wie in der Aufgabenstellung angegeben, wären das

$\begin{eqnarray*} x = a \cos^3{t} \, , \ \ y = a \sin^3{t} \end{eqnarray*}$

Hierbei durchläuft $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ den Bereich $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , falls die neuen Variablen $\begin{eqnarray*} a,t \end{eqnarray*}$ die Intervalle $\begin{eqnarray*} a \in [0,r] \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} t \in [0,2\pi] \end{eqnarray*}$ durchlaufen. Und jetzt muß man die Substitutionsregel für Bereichsintegrale anwenden.

Und ganz zum Schluß verrate ich noch, daß es des ganzen Aufwandes mit der mehrdimensionalen Integralrechnung gar nicht bedarf, wenn man sich klarmacht, daß die Gleichung

$\begin{eqnarray*} x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = r^{\frac{2}{3}} \end{eqnarray*}$

unempfindlich gegen eine Vorzeichenänderung bei $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ist. Die Kurve ist also sowohl symmetrisch zur $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ - als auch symmetrisch zur $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Achse (und damit auch punktsymmetrisch zum Ursprung). Es genügt daher, den Teil im ersten Quadranten zu berechnen und zu vervierfachen. Die Gleichung läßt sich für diesen Quadranten so nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ auflösen:

$\begin{eqnarray*} y = f(x) = \left( r^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}} \right)^{\frac{3}{2}}, \ \ 0 \leq x \leq r \end{eqnarray*}$

Und zu berechnen ist nun der Flächeninhalt unter dem Graphen von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} F(A) = 4 \int_0^r~f(x)~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

Und das Integral knackt man mit der Substitution $\begin{eqnarray*} x = r \sin^3{t} \, , \ 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ .

23.01.2006, 19:08

20_Cent

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