mathematisches rätsel

21.01.2006, 18:01

PG

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mathematisches rätsel

ein mathematisches rätsel
ich bin mal gespannt, wer das von euch rausfindet, denn ich habs rausgefunden smile

smile

ich habe folgende funktion auf seine nullstelle überprüft:
$\begin{eqnarray*} f(x)=1+\sqrt{x+2} \end{eqnarray*}$
jetzt rechne ich die nullstelle:

$\begin{eqnarray*} 0=1+\sqrt{x+2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -1=\sqrt{x+2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1=x+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_N=-1 \end{eqnarray*}$
soweit so gut smile

smile

aber warum besitzt diese funktion net diese nullstelle.

auch durch einfügen von $\begin{eqnarray*} x_N=-1 \end{eqnarray*}$ kommt $\begin{eqnarray*} f(-1)\neq0 \end{eqnarray*}$
wer findet das raus?

21.01.2006, 18:02

Mathespezialschüler

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Weil Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist! Du siehst es doch schon am Anfang: Eine Wurzel ist niemals positiv! Also gilt:

$\begin{eqnarray*} 1+\sqrt{x+2}\geq 1+0=1 \end{eqnarray*}$ .

Somit kann es keine Nullstelle geben.

Gruß MSS

21.01.2006, 18:03

MrPSI

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Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung!!!

//edt: Mist, war wieder langsamer...

21.01.2006, 18:03

JochenX

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Zitat:

ich bin mal gespannt, wer das von euch rausfindet, denn ich habs rausgefunden smile

na dann sehe ich den sinn nicht ganz Augenzwinkern

Augenzwinkern

ich habs auch rausgefunden, kriege ich jetzt eine belohnung?

edit: mensch, jetzt siehts so aus, als ob ichs nicht selbst hätte raten können, sondern von euch abgeguckt hätte
LOL Hammer

LOL Hammer

21.01.2006, 18:04

PG

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doch warum net?? ist doch klar, dass es eine äquivalenzumformung ist, denn du quadrierst ja auf beiden seiten

21.01.2006, 18:05

PG

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Zitat:

Original von LOED

Zitat:

ich bin mal gespannt, wer das von euch rausfindet, denn ich habs rausgefunden smile

na dann sehe ich den sinn nicht ganz Augenzwinkern

Augenzwinkern

ich habs auch rausgefunden, kriege ich jetzt eine belohnung?

lol hahah

Big Laugh

ich wollte euch mal testen,ob ihr dafür eine erklärung habt. aber es ist eine äquivalenzumformung

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21.01.2006, 18:05

JochenX

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Zitat:

Original von PG
doch warum net?? ist doch klar, dass es eine äquivalenzumformung ist, denn du quadrierst ja auf beiden seiten

1=-1
quadrieren
staunen

ach und jetzt bin ich doch auf DEINE begründung gespannt smile

smile

21.01.2006, 18:06

MrPSI

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-5=5 |²
25=25

es ist somit keine Äquivalenzumformung. Äquivalenz tritt nur auf, wenn die Gleichung bestehen bleibt und ihre Aussage(wahr/falsch) beibehält.

21.01.2006, 18:08

swerbe

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wurde doch schon alles gesagt:

$\begin{eqnarray*} -1=\sqrt{x+2} \end{eqnarray*}$ !!!

gruß swerbe

21.01.2006, 18:14

PG

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hmmm ... loed und auch die anderen smile

smile

ihr seid ja voll die mathefreaks... respekt.
smile

smile

ok ich ergebe mich

begründung: weil du dadurch gleichzeitig auch die funktion

$\begin{eqnarray*} f(x)=1-\sqrt{x+2} \end{eqnarray*}$
also du rechnest gleichzeitig von beiden funktionen die nullstelle, denn

$\begin{eqnarray*} 0=1-\sqrt{x+2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -1=-\sqrt{x+2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1=x+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_N=-1 \end{eqnarray*}$

das ist sozusagen die hälfte der einen parabel:

seht ihr eine parabel ergibt es zusammen. daher ist immer bei solchen aufgaben, wie ich nach meiner untersuchung festgestellt habe, eine probe notwendig.
man sieht jetzt auch:
$\begin{eqnarray*} 0=1-\sqrt{1+2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=0 \end{eqnarray*}$
hab ich recht?
dein beispiel ist jetzt nur eine ausnahme, loed... denn bei quadratischen funktionen gibs ja immer 2 nullstellen

edit:obwohl loeds beispiel zeigt eigentlich, dass es keine äquivalenz ist. aber bedeutet es,dass ich net quadrieren darf? aber wie könnte ich dann nullstellen ausrechen, wenn wir davon ausgehen würden, dass wir noch nicht die nullstellen wüssten

21.01.2006, 18:18

JochenX

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Zitat:

daher ist immer bei solchen aufgaben, wie ich nach meiner untersuchung festgestellt habe, eine probe notwendig.

ja immer immer immer!
allerdings ist diese erkenntnis älter als du smile

smile

Zitat:

seht ihr eine parabel ergibt es zusammen

aber verdreht oder? *kopfaufdieseitelegundnochmalschau*
und wenn dus spiegelst (x,y) achse vertauschst, hats auch plötzlich deine 2 nullstellen....

Zitat:

dein beispiel ist jetzt nur eine ausnahme, loed...

ausahme von was?
naja, x^2=y^2 => x=y gilt eben einfach dann nicht, wenn x und y unterschiedliche vorzeichen haben; das allerdings ist in seeehr vielen fällen so, deswegen ist es kaum eine ausnahme einer regel

es gilt: x^2=y^2 <=> |x|=|y|, also BETRAGSGLEICHHEIT

21.01.2006, 18:22

PG

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also muss ich beim quadrieren betragsstriche setzen?

beispiel:
l-1l=l1l quadrieren
1=1

geht das so beim quadrieren, also mit betragstriche?

21.01.2006, 18:39

JochenX

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nein das siehst du falsch, bzw. das ist so unsinn
betragsstriche setzen ist ja auch keine äquivalenzumformung (vgl auch -1=1)
also machts auch ncht viel sinn, einfach betragsstriche einzusetzen

aber, wenn du natürlich eine betragsgleichung der form |...........|=|............| hast, dann kannst du das immer ÄQUIVALENT umschreiben zu .....^2=........^2

merke einfach:

x=y dann folgt IMMER x^2=y^2, diese richtung stimmt, aber du verlierst dabei gegebenenfalls informationen (und bedingungen! deswegen PROBE)
x^2 = y^2 => x=y ist im allgemeinen FALSCH!

richtig ist aber: |x|=|y| <=> x^2=y^2

21.01.2006, 19:00

therisen

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Eine Wurzel ist niemals positiv! Also gilt:

$\begin{eqnarray*} 1+\sqrt{x+2}\geq 1+0=1 \end{eqnarray*}$ .

Also das ist mir neu Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß, therisen

21.01.2006, 19:05

PG

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also muss ich das anders nach x lösen,nämlich mit taschenrechner:

$\begin{eqnarray*} 1+\sqrt{x+2}=0 \end{eqnarray*}$ wenn ich jezt quadriere:

$\begin{eqnarray*} 1+x+2=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=-3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=-3 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$
das kann net sein. was ist jetzt falsch und wie komm ich auf $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$
ok aber wie erklärst du dir dann das:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{x+2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=\sqrt{x+2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=x+2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=-2 \end{eqnarray*}$

vielleicht, weil keine informationen durch die neutrale zahl 0 verloren gehen?

21.01.2006, 19:20

JochenX

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Zitat:

Original von PG
$\begin{eqnarray*} 1+\sqrt{x+2}=0 \end{eqnarray*}$ wenn ich jezt quadriere:

$\begin{eqnarray*} 1+x+2=0 \end{eqnarray*}$

neeeein, kennst du binomische formeln?
so fallen sie wurzeln nicht weg, es war schon richtig, sie vor dem quadrieren zu isolieren, d.h. sie allein auf eine seite zu bringen

21.01.2006, 19:25

PG

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achsooo binomische formeln... stimmt^^ danke

$\begin{eqnarray*} 1+2\sqrt{x+2}+x+2=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3+x+2\sqrt{x+2}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x+2\sqrt{x+2}=-3 \end{eqnarray*}$

wie weiter? und hatte ich recht mit ,dass ich bei 0 das quadrieren anwenden kann?

21.01.2006, 19:48

JochenX

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du kannst das immer anwenden, aber so wie du es machst ist es völlig unnötig!
du müsstest um die wurzel zu eliminieren nun nochmal quadrieren (nach isolation) oder geeignet tricksen...

merke dir folgendes schema für einfache wurzelgleichungen: Lehrer

Lehrer

versuche immer, vor dem quadrieren die wurzel zu isolieren
dann quadrierst du, wenn du die wurzel isoliert hast, fällt die wurzel dann weg, hättest du nicht isoliert, würde sie erhalten bleiben
löse dann nach x auf
dann unbedingt PROBE, denn wie gesehen ist quadrieren keine äquivaenzumformung (wenn du keine nebenbedingungen hast)

das war oben schon sehr richtig:
$\begin{eqnarray*} 1+\sqrt{x+2}=0 \end{eqnarray*}$ WURZEL ISOLIEREN =>
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x+2}=-1 \end{eqnarray*}$ JETZT QUADRIEREN =>
$\begin{eqnarray*} x+2=1 \end{eqnarray*}$ JETZT LÖSEN =>
$\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$

jetzt probe: $\begin{eqnarray*} 1+\sqrt{-1+2}=.... \end{eqnarray*}$ probe SCHEITERT => keine lösung

hier gehts natürlich noch schneller, denn schon vor dem quadrieren, kannst du aus $\begin{eqnarray*} \sqrt{x+2}=-1 \end{eqnarray*}$ die unlösbarkeit erkennen, denn wurzeln sind immer >=0.

aber merke dir obiges verfahren und sparedir slche irrwege.

21.01.2006, 19:57

PG

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das ist mir klar, aber wie bekomme ich nun den wirklichen wert für diese funktion.

wie kann ich den tatsächlichen x-wert mit y=0 von dieser funktion berechnen? da muss es doch ein weg geben!

21.01.2006, 20:16

JochenX

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es gibt keinen!

du findest ALLE mithilfe des obigen schemas, aber gegebenenfalls noch mehr
jede einzelne "lösung", die du findest, die die probe übersteht ist wirklich lösung

hier übersteht KEINE, also gibt es keine lösung
schau dir doch auch mal deinen plot an!

21.01.2006, 20:39

PG

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sry war mein fehler... das war ja die formel für die nullstelle... ok danke hat sich geregelt.

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