P(29<x<31)

21.01.2006, 19:47

azur

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P(29<x<31)

Hallo,
ich soll $\begin{eqnarray*} P(29<X<31) \end{eqnarray*}$ berechnen. Die Aufgabe hab ich bis vorhin für einfach gehalten, jetzt weiß ich aber nicht, was ich falsch mache. Die Funktion sei binomialverteilt n=100 und p=0,3. Deshalb habe ich $\begin{eqnarray*} \mu =30 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma=\sqrt 21 \end{eqnarray*}$

Zur Näherungsweise Berechnung der Binomialverteilung habe ich die Normalverteilung benutzt. $\begin{eqnarray*} P(29<X<31)= \Phi(\frac{1}{\sigma} - \Phi(\frac{-1}{\sigma}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 2 \Phi(\frac{1}{\sigma})-1 \end{eqnarray*}$ das entspricht: $\begin{eqnarray*} 2 \Phi(\frac{1}{\sqrt 21})-1 \end{eqnarray*}$
Wenn ich das in der Formelsammlung nachschlage, bekomme ich das Ergebnis: P=0,17. 25,6% wären aber richtig. Was hab ich falsch gemacht?

azur

21.01.2006, 19:51

JochenX

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29<X<31 für natürliche X.....
da kann X NUR 30 sein, must also nur P(X=30) bestimmen

da approximierst du mit der normalverteilung???!

21.01.2006, 19:59

azur

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sorry, hab mich verschrieben. das soll in beiden fällen kleiner gleich sein. Ich könnte ja jetzt mittels der Binomialverteilugn die Wahrscheinlichkeit für 31 errechnen und 2mal dazu addieren. Jedoch, was mache ich, wenn die zahlen zu groß sind, sodass sie mein Taschenrechner nicht mehr annimmt? Muss ich dann nicht die Formel für die Intervallwahrscheinlichkeiten normalverteilter Zufallsgrößen nehmen?

21.01.2006, 20:18

Sciencefreak

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Wenn du schon mit solch einer verteilung rechnest, dann musst du die Breite 3 Betrachten und nicht 2, denn du sollst ja die Summe von 3 Wahrscheinlichkeiten berechnen. Dann kommst du auch wesentlich näher an deine richtigen 25,6%

21.01.2006, 20:30

bil

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hi...

Zitat:

Original von azur
Ich könnte ja jetzt mittels der Binomialverteilugn die Wahrscheinlichkeit für 31 errechnen und 2mal dazu addieren.

2mal dazu addieren ist nicht richtig. du musst P(X=29)+P(X=30)+P(X=31)
berechnen.

Zitat:

Jedoch, was mache ich, wenn die zahlen zu groß sind, sodass sie mein Taschenrechner nicht mehr annimmt?

sollte nicht passieren.

wenn du es aber doch mit der normalverteilung approximieren willst, dann lies dir folgendes durch:
http://de.wikipedia.org/wiki/ Normalvert...rt<br /> eilung

gruss bil

22.01.2006, 11:33

azur

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Hallo,

das Problem ist, dass ich nicht weiß, wann man welche Formel nehmen muss. In meiner Formelsammlung steht:
Intervallwahrscheinlichkeiten normalverteilter Zufallsgrößen.
$\begin{eqnarray*} P(a \le X \le b)= \Phi( \frac{b- \mu}{\sigma}) - \Phi( \frac{a- \mu}{\sigma}) \end{eqnarray*}$

Unter Nährungsformel von moivre und Laplace für sigma>3 gilt:

$\begin{eqnarray*} P(X\le k) \approx \Phi( \frac{k+0{,}5- \mu}{\sigma}) \end{eqnarray*}$

Wenn ich die Näherungsformel von moivre und laplace anwende, komme ich auf das näherungsweise richtige Ergebnis. Wenn ich die andere Formel anwende, dann nicht.
Wann wende ich also, welche Formel an?

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22.01.2006, 12:17

AD

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Die Formel

$\begin{eqnarray*} P(a \le X \le b)= \Phi\left( \frac{b- \mu}{\sigma}\right) - \Phi\left( \frac{a- \mu}{\sigma}\right) \end{eqnarray*}$

ist richtig für eine exakt normalverteilte (also stetige) Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ .

Du betrachtest hingegen eine binomialverteilte (also diskrete) Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , die nur ganzzahlige Werte annimmt. Hier muss man diesen "Korrektursummanden" 0.5 mit aufnehmen, also die Nährungsformel von Moivre-Laplace verwenden:

$\begin{eqnarray*} P(X\le k) \approx \Phi\left( \frac{k+0.5-\mu}{\sigma}\right) \end{eqnarray*}$

Für Intervallwahrscheinlichkeiten mit ganzzahligen (!) $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ heißt das dann

$\begin{eqnarray*} P(a \le X \le b)= P(X \le b)-P(X \le a-1) \approx \Phi\left( \frac{b+0.5-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left( \frac{a-0.5-\mu}{\sigma}\right) \end{eqnarray*}$

Also kurz und gut: Die zweite Formel ist approximativ genauer, vor allem wenn das Intervall wie bei dir sehr schmal ist.

22.01.2006, 13:14

Friedrich

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RE: P(29<x<31)

Zitat:

Original von azur
$\begin{eqnarray*} P(29<X<31)= \Phi(\frac{1}{\sigma} - \Phi(\frac{-1}{\sigma}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 2 \Phi(\frac{1}{\sigma})-1 \end{eqnarray*}$ das entspricht: $\begin{eqnarray*} 2 \Phi(\frac{1}{\sqrt 21})-1 \end{eqnarray*}$

Hier hast du, meiner Meinung nach falsch umgeformt, weil du die beiden Phi Funktionen zu einer zusammengezogen hast, was du nicht machen darfst, wenn ich mich richtig entsinne.

Da sigma > 3 ist, muss man die +-0.5 nicht mehr hinzunehmen, weil berechtigterweise davon ausgehen kann, dass die Korrektur verschwindend klein ist.

22.01.2006, 13:30

AD

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Zitat:

Original von Friedrich
Da sigma > 3 ist, muss man die +-0.5 nicht mehr hinzunehmen, weil berechtigterweise davon ausgehen kann, dass die Korrektur verschwindend klein ist.

Die $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Bedingung hat mit den Korrektur-Summanden nichts zu tun, deine Folgerung (?) ist falsch. Als Illustration betrachte mal für binomialverteilte $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ die deiner Meinung nach richtige Rechnung

$\begin{eqnarray*} P(X=k) = P(k \le X \le k) \stackrel{?}{\approx} \Phi\left( \frac{k- \mu}{\sigma}\right) - \Phi\left( \frac{k- \mu}{\sigma}\right) = 0 \end{eqnarray*}$

Also ist deiner Meinung nach $\begin{eqnarray*} P(X=k)\approx 0 \end{eqnarray*}$ für alle ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ .Absurd.

22.01.2006, 16:13

azur

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vielen Dank für die Antwort. Das hat mir sehr viel weitergeholfen. Wie komtm man jedoch in der letzten Formel darauf, dass gilt:

P(a<X<b)=P(k<X)- P(X<a-1)

22.01.2006, 16:58

bil

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ich schätze mal du meinst:

Zitat:

Original von Arthur Dent

$\begin{eqnarray*} P(a \le X \le b)= P(X \le b)-P(X \le a-1) \end{eqnarray*}$

hier wird noch mit der binomialverteilung(diskrete verteilung) gerechnet.
machen wir mal ein bsp:

$\begin{eqnarray*} P(5 \le X \le 10)=P(X=5)+\dots +P(X=10)= P(X \le 10)-P(X \le 4) \end{eqnarray*}$

wenn ich nicht a-1 nehmen würde wäre es:

$\begin{eqnarray*} P(X \le 10)-P(X \le 5)=P(X=6)+\dots +P(X=10) \end{eqnarray*}$

und wie du siehst ist es nicht das selbe...

gruss bil

22.01.2006, 17:49

azur

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vielen Dank.

24.01.2006, 15:41

azur

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Hallo,
habe die Verwendung der Formeln bis eben gerade für eindeutig erachtet. Dann bin ich jedoch auf diese Aufgabe gestoßen:

Die Körpergröße von Kindern einer Altersstufe sei normalverteilt. 3% der Kinder sind kleiner als 96cm und 3% größer als 111.
Hinweis: Die Körpergröße 96cm umfasst das Intervall [95,5;96,5[

Berechne µ und sigma.

Aufgrund der Aussage, dass es sich um eine Normalverteilung handelt, hätt ich jetzt die Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten von Normalverteilungen genommen. Warum ist dieses falsch? Zwar steht dort dieser Hinweis, aber die Zufallsgröße ist doch stetig und normalverteilt.

sorry, hab vergessen, den Rechenweg des Buches hinzuschreiben:
Frage: Wieviel Prozent sind größer als 99cm

$\begin{eqnarray*} P(X>99) =P( X \ge 99,5) \end{eqnarray*}$ Warum rechnen die so?

$\begin{eqnarray*} =1- \Phi((99,5-\mu)/(\sigma)) \end{eqnarray*}$

Das ist doch im Prinzip die Formel für die diskrete Verteilung.
Wie kommen die hierrauf, diese Formerl an dieser Stelle zu verwenden?

24.01.2006, 16:11

bil

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Zitat:

Original von azur
Aufgrund der Aussage, dass es sich um eine Normalverteilung handelt, hätt ich jetzt die Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten von Normalverteilungen genommen. Warum ist dieses falsch? Zwar steht dort dieser Hinweis, aber die Zufallsgröße ist doch stetig und normalverteilt.

du musst hier doch garkeine wahrscheinlichkeiten ausrechen. es ist hier nach
dem erwartungswert $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ und der standardabweichung $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ gefragt.davon mal abgesehen kann man nicht mir der normalverteilung rechnen wenn einem diese beiden parameter fehlen. das einzige was du in dieser aufgabe weisst ist das $\begin{eqnarray*} X\sim N(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ verteilt ist.

gruss bil

24.01.2006, 16:16

bil

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dein edit kam etwas zu spät Augenzwinkern

Augenzwinkern

also

Zitat:

Original von azur
$\begin{eqnarray*} P(X>99) =P( X \ge 99,5) \end{eqnarray*}$ Warum rechnen die so?

das ist noch nicht wirklich eine rechnung. das ist nur die fragestellung. und es ist auch keine diskrete verteilung. die bedeutung von P(...) ist P(...) = wahrscheinlichkeit von ... .
sagt also noch garnichts über die verteilung aus. aber da wir wissen das es normalverteilt ist gilt:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} P(X\ge 99,5)=1- \Phi((99,5-\mu)/(\sigma)) \end{eqnarray*}$

gruss bil

24.01.2006, 17:05

azur

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also ist die Zufallsgröße Größe keine stetige Größe? (alle Klarheiten beseitigt? Augenzwinkern

Augenzwinkern

) Und man verwendet, wenn nach der Größe gefragt ist, immer Näherungsformel von Moivre und LaPlace?

Außerdem weiß ich nicht, warum manchmal die 0,5 addiert wird und manchmal subtrahiert. Ein Beispiel dazu:

90% der 45-jährigen sind größer als 1,68 und 90% sind kleiner als 1,86. Die Körpergröße wird als normalverteilt angenommen.
Bestimme µ und sigma.

µ war nicht das Problem, weil µ genau in der Mitte der beiden Werte liegt: 1,77m.

Für die Berechnung von sigma hätte ich die Formel von Moivre und Laplace benutzt:

$\begin{eqnarray*} P(X \le 186) \approx \Phi(\frac{186 +0,5 -177}{\sigma})=0,9 \end{eqnarray*}$
somit wäre:

$\begin{eqnarray*} 1,28 \sigma=9,5 \end{eqnarray*}$

in der Lösung steht jetzt aber: $\begin{eqnarray*} 1,28 \sigma=8,5 \end{eqnarray*}$ was weißt, dass ich wohl 0,5 adiert habe, wo es eigentlich hätte subtrahiert werden müssen.
Warum ist das, was ich gemacht habe, schon wieder falsch?

24.01.2006, 17:33

AD

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Weil es diesmal um eine "echt" normalverteilte, also nicht um eine binomialverteilte Größe geht!!!

Zitat:

Original von Arthur Dent
Die Formel

$\begin{eqnarray*} P(a \le X \le b)= \Phi\left( \frac{b- \mu}{\sigma}\right) - \Phi\left( \frac{a- \mu}{\sigma}\right) \end{eqnarray*}$

ist richtig für eine exakt normalverteilte (also stetige) Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ .

Eine binomialverteilte Größe ist immer eine "Anzahl von irgendwas". Davon kann doch bei der Körperlänge keine Rede sein! Ist denn die Unterscheidung so schwer?

24.01.2006, 17:37

Friedrich

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Zitat:

Original von azur
Außerdem weiß ich nicht, warum manchmal die 0,5 addiert wird und manchmal subtrahiert.

Eine Bnp Verteilung wird durch ein Histogram veranschaulicht, sodass ein Balken genau 1LE breit ist und die Fläche des Balkens gleich dem Wert der Wahrscheinlichkeit des jeweiligen Merkmals X ist.

Wenn du das durch eine stetige Funktion annäherst hast du ein Problem:
vgl:
P(X=k)
beim einem Histogramm wäre P die Fläche des k-ten Balkens (= Bnp(k))

und bei der stetigen Funktion hättest du aber ein Problem, denn die Fläche:
$\begin{eqnarray*} \int_{k}^{k}~f(x)~dx = 0 \end{eqnarray*}$ Also schaffst du dir die Breite 1 durch die Korrektur +-0.5:
$\begin{eqnarray*} \int_{k-0.5}^{k+0.5}~f(x)~dx \end{eqnarray*}$

24.01.2006, 17:47

azur

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Ist denn die Unterscheidung so schwer?

Die Antwort ist ganz klar: Ja! In der Aufgabe davor wurde das doch genauso mit Moivre und LaPlace gerechnet werden. Es ging um die Größe und in der Lösung wurde gerechnet:

$\begin{eqnarray*} 1- P(X<99) = 1- \Phi(\frac{99 + 0.5-\mu}{\sigma}) \end{eqnarray*}$

Es wurde also Moivre und LaPlace verwendet.

Wie kommt man mit der Formel:

und den Angaben: P(X<186)=0.9 µ=177 auf

@ Friedrich: das habe ich vorher auch gedacht, aber dieses Buch schafft es immer wieder mich zu verwirren. Ich habe die Formel

verwendet, was laut Lösung falsch ist.

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