Fläche von g(x) und der Normalen im WP

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°Fee° Auf diesen Beitrag antworten »
Fläche von g(x) und der Normalen im WP
Hej Leute!

Ich hab hier mal ne Frage: wir sollen als Aufgabe in Mathe diese Aufgabe rechnen:

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph der Funktion g mit g(x) = x - x³ mit seiner Normalen im Wendepunkt einschließt.

Leider hat unser Lehrer uns noch nicht genau erklärt, was eine Normale ist und ich komm deswegen nicht mehr weiter... Weil ich jetzt auch irgendwie ausgerechnet hab, dass es zwei Normalen gibt, und die beide jeweils eine Fläche mit g(x) einschließen würden... Kann man da jetzt eine von denen "weglassen"? Oder mit beiden einzeln weiterrechnen?

Vielen Dank für eure Hilfe!
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Die Normale von an der Stelle ist die zur Tangente an der Stelle senkrechte Gerade, sie hat also die Steigung und es gibt nur eine.



Du musst also jeweils den Betrag des Integrals von Schnittpunkt zu Schnittpunkt finden und diese addieren.
PG Auf diesen Beitrag antworten »

ist das blaue die normale von g?
speedyschmidt Auf diesen Beitrag antworten »

ja so ist es
PG Auf diesen Beitrag antworten »

wie ist er drauf gekommen?
speedyschmidt Auf diesen Beitrag antworten »

er hat die wendestelle gesucht, die dann in die erste Ableitung eingesetzt. Und das Ergebnis davon mit Hilfe der Formel, die er dahin geschrieben hat ausgerechnet.
Oder er hat ein Programm, das alles automatisch macht!
Prost

Um auf die Gleichung für die Tangente bzw später auch auf die der Normalen zu kommen, muss man eigentlich den Berührungspunkt/Schnittpunkt in das berühmte y=mx+n einsetzen.
Das kann man sich hier aber sparen, da es durch den Urgo/Koordinatenursprung geht.
 
 
PG Auf diesen Beitrag antworten »

eins habe ich nie verstanden . Was ist die WENDESTELLE????????????????????? kann man das am graphen zeigen? unter wendestelle versteh ich, dass sich die kurve wendet, also von fallend zu steigend oder umgekehrt
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Um genau zu sein, habe ich alles mit dem Auge gemacht und dann im Kopf einmal nachgerechnet -- bei so einfachen Polynomen ist das ja durchaus drin. Die eigentliche Vorgehensweise hat aber sppedyschmidt beschrieben.
speedyschmidt Auf diesen Beitrag antworten »

die wendestelle ist die stelle, an der und sind

pp=p
PG Auf diesen Beitrag antworten »

was passiert da genau?
hat der rote graph 2 wendestelle,nämlich bei ungefähr x=-0,5 und 0,5?


edit: warum wird die normale genannt, also das blaue und was ist das grüne`?
speedyschmidt Auf diesen Beitrag antworten »

er ändert seine Krümmung

bei und sind die Extremstellen

Das grüne ist die Tangente. Das solltest du aber so langsam wissen!

Warum das Normale genannt wird??? hmmmmmmmmmmm!!!
Das ist schon schwieriger!warum wird eine Kurve, Kurve und nicht Qvlhsdjnöökv genannt????

Also ehrlich ich weiß es nicht!
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Der rote Graph hat nur eine Wendestelle bei , dort, wo dieLinkskurve in eine Rechtskurve übergeht. Wie speedyschmidt schon sagte, ist das dort, wo (wenn man es nicht ganz genau nimmt, was in der Schule eigentlich immer der Fall ist). Was du meinstest, sind Extremstellen, von denen hat der rote Graph zwei.

Die grüne Gerade ist die Tangente an den Graphen im Punkt , also im Wendepunkt. Die blaue Gerade ist die zur Tangente senkrechte im Wendepunkt.
speedyschmidt Auf diesen Beitrag antworten »

wie wäre es denn genauer???



musste einfach mal gesagt werden! Big Laugh
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von speedyschmidt
wie wäre es denn genauer???



Ein Gegenbeispiel für die einfache Bedingung aus der Schule ist .

Zitat:
Original von speedyschmidt


musste einfach mal gesagt werden! Big Laugh

Naja, das ist Definitionssache. Das Problem ist eigentlich der Schritt .
PG Auf diesen Beitrag antworten »

hmm ich habe gerade im internet nachgeschaut, da sagen die auch

Ein Wendepunkt ist ein Punkt in einer Kurve, wo sich die Richtung der Kurve ändert. D. h. wenn die Kurve vorher nach rechts gekrümmt war, krümmt sich die Kurve hinterher nach links.

aber toll... ich seh nichts besonderes bei x=0... wie "sieht" man das, also was ist da genau zu erkennen. ich finde nur, dass sich bei den extremstellen der graph wendet..

edit: vielleicht meint ihr, dass es sozusagen eine nach unten geöffnete parabel wird?
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PG
aber toll... ich seh nichts besonderes bei x=0... wie "sieht" man das, also was ist da genau zu erkennen.

Stell dir vor, der Graph ist eine Straße von oben und du fährst mit dem Auto auf der Straße entlang.
PG Auf diesen Beitrag antworten »

siehe edit.
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Siehe mein letzes Posting.
PG Auf diesen Beitrag antworten »

also ich fahr gerade aus. dann muss ich bei der extremstelle nach links abbiegen und fahre gerade aus weiter durch den nullpunkt und dann beim nächsten extrempunkt biege ich nach rechts. dann weiter geradeaus. was soll da jetzt die wendestelle sein? ich finde das voll komisch? was habt ihr für augen? oder stimmt etwas nicht mit meinen augen? ich sehe das ,was ich gerade beschrieben habe. was ist jetzt bei (0/0) ?? da fahr ich doch einfach gerade ...
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Du fährst nur an einer einzigen Stelle geradeaus, das ist der Wendepunkt.
PG Auf diesen Beitrag antworten »

achso.... das sieht man aber net bei dem graphen, weil das ja nuir ein punkt ist oder?
edit: das ist eine links-rechts-kurve habe ich recht? jetzt habe ich es verstanden...
speedyschmidt Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sqrt(2)
Zitat:
Original von speedyschmidt
wie wäre es denn genauer???



Ein Gegenbeispiel für die einfache Bedingung aus der Schule ist .

Zitat:
Original von speedyschmidt


musste einfach mal gesagt werden! Big Laugh

Naja, das ist Definitionssache. Das Problem ist eigentlich der Schritt .


danke für die Definition!---Absolut geil

Das Zusammenfassen wäre kein Problem, wenn i ordentlich definiert wäre. Es ist aber nur i² definiert.Man eiert bei der definition von i eigentlich nur rum. Dein Schritt ist mathematisch vollkommen korrekt.


Ich weiß, dass nicht alles bei Wikipedia exakt ist. Aber das ist für mich die Bestätigung und so hab ichs auch gelernt:
Die imaginäre Einheit wird oft auch als diejenige Zahl, die mit sich selbst multipliziert -1 ergibt verstanden. Entgegen der allgemeinen Meinung ist i nicht die Wurzel von -1, da die Wurzel von a als "diejenige positive Zahl, die mit sich selbst multipliziert a ergibt", definiert ist - allerdings haben komplexe Zahlen kein Vorzeichen. Somit ist die Bedingung nicht erfüllbar.
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von speedyschmidt
Das Zusammenfassen wäre kein Problem, wenn i ordentlich definiert wäre. Es ist aber nur i² definiert.

Für stößt man auf dasselbe Problem.

Zitat:
Original von speedyschmidt
Man eiert bei der definition von i eigentlich nur rum. Dein Schritt ist mathematisch vollkommen korrekt.

Nein. , es gibt also zwei Lösungen der Wurzel. und sind damit nicht das gleiche, sondern 1 ist nur eine der möglichen Lösungen; ein Gleichheitszeichen ist deshalb an dieser Stelle falsch. (Wählt man für für beide Wurzeln den gleichen Wert, erhält man ganz korrekt ).
PG Auf diesen Beitrag antworten »

hab ich recht mit der wendestelle?

kommen wir zur aufgabe:
ich habe für
speedyschmidt Auf diesen Beitrag antworten »

Nagut überzeugt! Meister! Mit Zunge Wink
Muss mich da aber noch ganzschön durchwuseln. Denn so genau kenn ich das dann aus der Schule( :klosmile doch nicht!
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von speedyschmidt
Meister! Mit Zunge Wink

Naja, das ja nu nich... smile

Zitat:
Original von PG
hab ich recht mit der wendestelle?

Ich denke, du hast es verstanden.

Zitat:
Original von PG
kommen wir zur aufgabe:
ich habe für

Das ist richtig, aber: .
PG Auf diesen Beitrag antworten »

besten dank an dir meister sqrt smile smile smile smile smile smile smile smile smile smile smile smile vielen dank
°Fee° Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sqrt(2)
Die Normale von an der Stelle ist die zur Tangente an der Stelle senkrechte Gerade, sie hat also die Steigung und es gibt nur eine.



Du musst also jeweils den Betrag des Integrals von Schnittpunkt zu Schnittpunkt finden und diese addieren.


Hi! Erstmal vielen Dank an dich!

Eine Frage hätte ich noch: wie bist du auf die Formeln der Tangenten und der Normalen gekommen? Die sind ja bei dir anscheinend y=x und y=-x...

Die Tangente hat die Steigung 1/3 oder? Müsste dann nicht die Normale die Steigung -3 haben? Hier sieht es aber aus als wären die Steigungen 1 und -1 ?!? traurig
PG Auf diesen Beitrag antworten »

ich kenn mich selbst nicht damit genau aus, aber ich vermute, dass eine normale immer eine gerade ist. daher hat er erstmal die tangente von



bestimmt und dann die orthogonale

also ableiten



so jetzt setzt du 0 für die ableitung ein:



das ist die steigung beim punkt

die formel für die orthogonale lautet:


und jeztz halt die 1 einsetzen nachdem du es nach (oder )aufgelöst hast:







und dies ist zugleich die neue funktion bzw die normale=


ps:sqrt ist gerade offline unglücklich
°Fee° Auf diesen Beitrag antworten »

Hi PG! Das hat mir wirklich weitergeholfen!! Weiß gar net mehr wie ich da selbst auf 1/3 und so gekommen bin *kopfschüttel* Vielen vielen Dank! smile
PG Auf diesen Beitrag antworten »

sry habe selbst einige fehler gemacht unglücklich
seine formel lautet ja



also bedeutet das, dass du die abgeleitete funktion mit dem wert durch -1 teilen muss!!

ist zwar die steigung aber es lautet nicht so, sondern so(also mit x)



wie man zu der formel kommt siehst du ja, also ableiten


und dann in der formel


das ist nun die steigung. nun kannst du es in der formel einfügen, ABER mit x

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