Erzeuger der Diedergruppe

19.05.2008, 18:43	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Erzeuger der Diedergruppe Da in meinem letzten Thema, dass ganze schon einmal diskutiert wurde, möchte ich das jetzt nochmal aufgreifen. Es geht mir allgemein um die Diedergruppe $\begin{eqnarray} D_n \end{eqnarray}$ . Sie wird bspw. von den Zykeln $\begin{eqnarray} a=(1~2~3~...~n) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b=\begin{pmatrix} 1 & 2 & ... & i & ... & n-1 & n \\ 1 & n & ... & n+2-i & ... & 3 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ erzeugt. Nun habe ich die von Leopold angesprochenen Eigenschaften geprüft, die da wären: $\begin{eqnarray} a^n=id \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} b^2=id \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} ba=a^{-1}b \end{eqnarray}$ Nun möchte ich aber noch folgende Eigenschaft zeigen, und zwar sollen die Elemente $\begin{eqnarray} a^{i}b^{j},~0 \leq i <n, j=0,1 \end{eqnarray}$ alle paarweise verschieden sein. Für j=0 bleiben ja nur noch die $\begin{eqnarray} a^i \end{eqnarray}$ übrig und dise sind alle verschieden. Interessant ist also der Fall, wo j=1 ist: Ich habe mir das ganze jetzt soweit überlegt: $\begin{eqnarray} a^ib(k)=a^i(n+2-k)=n+2-k+i \end{eqnarray}$ Und das müsste ja für alle $\begin{eqnarray} k \in \{1,...,n-1\} \end{eqnarray}$ gelten, allerdings bin ich jetzt auf ein Problem gestossen, z.b. k=5, n=10, i=9, dann: $\begin{eqnarray} a^9b(5)=a^9(10+2-5)=10+2-5+9=16 \end{eqnarray}$ Kann und darf ich da jetzt mod 10 rechnen oder wie kann ich das sonst machen? Meine Formeln stimmen ja, oder? Außerdem würde ich gerne noch zeigen, dass die Untergruppe $\begin{eqnarray} <a> \end{eqnarray}$ normal in $\begin{eqnarray} D_n \end{eqnarray}$ ist und das die Faserung nach dieser Untergruppe isomorph zu $\begin{eqnarray} \mathbb Z_2 \end{eqnarray}$ ist.
19.05.2008, 20:22	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wäre $\begin{eqnarray} a^i b = a^j b \end{eqnarray}$ , so wäre (Kürzen durch $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ ) auch $\begin{eqnarray} a^i= a^j \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} i = j \end{eqnarray}$ . Es ist nicht nötig, eine konkrete Realisierung der Diedergruppe anzugeben. Alles folgt schon aus den Gruppenaxiomen.
19.05.2008, 21:04	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja gut, aber reicht das als Begründung für diese Aufgabe b)??? Man soll ja zeigen das diese Elemente unterschiedlich sind... Wenn man das so machen würde wie ich, kann ich dann da mod 10 in meinem Beispiel verwenden oder wie drücke ich das aus, dass man falls eine Zahl größer 10 in dieser Formel herauskommt eben wieder 10 abziehen muss? Vielen Dank
20.05.2008, 08:20	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt interessiert mich noch die Aufgabe c) Wo es darum geht zu zeigen, dass die von <a> erzeugte Untergruppe Normalteiler ist und Isomorphie zu $\begin{eqnarray} \mathbb Z_2 \end{eqnarray}$ gilt. Wie stelle ich das am schlausten an?
20.05.2008, 16:08	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
zu c) <a> ist ja auf jeden Fall endlich, da ja a die Ordnung n hat. Also wäre es doch sicherlich sinnvoll die Rechts- und Linksnebenklassen zu vergleichen und mal genauer anzusehen, dabei kann man wieder die Eigenschaften von den Erzeugern a,b verwenden nicht wahr? Oder habt ihr einen besseren Vorschlag? Bei der b) wäre mir euer Feedback auch ganz Recht. Mfg

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