Ableitungsregel

19.05.2008, 16:56

Thomas1988

Ableitungsregel

Welche ableitungsregel findet hier anwendung??

W`=1/6*(d²-3b²)

nun soll ich zur kontrolle W`` bilden.

W``=-b

daraus folgt b<0 ->erfüllt

Ich komme nicht auf W``=-b kann mir jemand die regel und die schrittweise ableitung erklären.

Thx Mike

19.05.2008, 16:59

Zizou66

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Das ist Potenzregel: $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ ist abgeleitet: $\begin{eqnarray*} nx^{n-1} \end{eqnarray*}$ .
Versuchs damit mal. Wenn du nicht weiterkommst, schreib einfach nochmal.

19.05.2008, 17:08

Thomas1988

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Also wenn ich die potenzregel verwende erhalte ich
W`=1/6*(d²-3b²)

W``=1/6* (d²-6b)

d ist eine konstante und steht für den durchmesser eines Kreises W ist ein wiederstandsmoment. b steht für die breite (Aufgabe: Wiederstand von einem Balken im Kreis soll maximal werden.)

Aber ich komme immer noch nicht auf W``=-b

danke schonmal

19.05.2008, 17:15

Zizou66

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Ja eigentlich musst du auch eine Funktion in Abhängigkeit von einer Variable angeben. Ich habe gedacht deine Funktion würde von b abhängen : $\begin{eqnarray*} W'(b)=d^2/6-2b^2 \end{eqnarray*}$

Dann würde bei der 2ten Ableitung der d-Term komplett rausfallen, weil er kein b besitzt, oder ein $\begin{eqnarray*} b^0 \end{eqnarray*}$ , wenn man denn so will und für den Fall muss man ja alles mit 0 mal nehmen und das ist ja immer gleich 0.
Dann musst du eigentlich nur den hinteren Teil der Gleichung mit der Potenzregel ableiten. Das kannst du nochmal versuchen, wenns nicht klappt. Einfach noch mal fragen Augenzwinkern

Ich helfe gern

19.05.2008, 17:39

mathe760

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} W'(b)=d^2/6-2b^2 \end{eqnarray*}$

Es sollte heißen: $\begin{eqnarray*} W'(b)=d^2/6-\frac{1}{2} \cdot b^2 \end{eqnarray*}$

Bis denn mathe760 Wink

19.05.2008, 17:43

Thomas1988

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Ich verstehs irgendwie nicht.. Hier mal die ganze Aufgabe.

Aus einem Baumstamm mit dem Durchmesser d soll in einem Sägewerk ein rechteckiger Balken
mit möglichst großer Tragkraft herausgeschnitten werden.
Wie muss die Höhe h und die Breite b des Balkens bei vorgegebenem Durchmesser d gewählt
werden, damit das Widerstandsmoment maximal wird?
Wiederstandsmoment:W=f(b,h)= (B*h²)/6
Lösung:
Über die geometrischen Beziehungen am Kreis kann die Höhe h des Träger direkt nach dem
Pythagoras bestimmt werden. Damit gelingt es, die Gleichung von bisher 2 Veränderlichen
(b,h) auf nur eine, nämlich b, zu reduzieren.

b² + h² = d² ----> h=Sqrt(d²-b²)

Damit ergibt sich das Widerstandsmoment zu:
(b*d²-b²)/6 =1/6*(bd²-b³)

Ein Minimum oder Maximum stellt sich ein, wenn die erste Ableitung zu Null gesetzt wird.
0 = d² - 3b² => 3b² = d ² => b = d /Sqrt3

Die Höhe h ergibt dann zu:
h=Sqrt (d2 - d2 / 3) = d*Sqrt(2/3)

Kontrolle: Die zweite Ableitung muss für das Maximum < Null sein?
W´´ = -b => erfüllt!

19.05.2008, 19:27

Zizou66

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Danke Mathe760, du hast natürlich recht Freude

Thomas, deine Lösung sieht sehr gut aus. Eigentlich hast du alles richtig gemacht. Verstehst du auch die einzelnen Schritte, oder hast du dazu eine spezielle Frage?

Um auf deine Ursprungsfrage einzugehen. Weiter oben hast du selbst eine andere Gleichung geschrieben als ganz oben.

Zitat:

Damit ergibt sich das Widerstandsmoment zu:
(b*d²-b²)/6 =1/6*(bd²-b³)

Wichtig ist $\begin{eqnarray*} 1/6(bd²-b³) \end{eqnarray*}$ .
Ich würde jetzt die 1/6 rausmultiplizieren und dann nach der Potzenregel (s.o)ableiten. Aber es kommt das gleiche raus und dein Endresultat für h und b ist richtig.

19.05.2008, 19:34

Zizou66

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Und zu deiner ersten Frage, wenn du $\begin{eqnarray*} 1/6(bd^2-b^3) \end{eqnarray*}$ zweimal ableitest bist du auch bei -b angelangt.

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