Stetigkeit

19.05.2008, 19:22

Ela.Martin

Stetigkeit

Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabenstellung:
Ist $\begin{eqnarray*} g: Q -> \mathbb R \end{eqnarray*}$
eine Funktion mit $\begin{eqnarray*} g(x+y)=g(x)\cdot g(y) \end{eqnarray*}$ , so gilt:
g ist stetig in $\begin{eqnarray*} x_{o} \end{eqnarray*}$ Element Q $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \Rightarrow \end{eqnarray*}$ g ist stetig in 0.

Mir ist klar dass es sich hier um eine Potenzfunktion handelt.
Aber wie ich da vorgehen muss, um die Tatsache zu zeigen ist mir unklar.
Vielleicht hat ja jemand einen Tip für mich.

19.05.2008, 19:34

Dual Space

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RE: Stetigkeit

Zitat:

Original von Ela.Martin
g ist stetig in $\begin{eqnarray*} x_{o} \end{eqnarray*}$ Element Q $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \Rightarrow \end{eqnarray*}$ g ist stetig in 0.

Diese Aussage ist äquivalent zu: g ist gleichmäßig stetig auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ . Hilft das schon?

19.05.2008, 19:45

Ela.Martin

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Also heißt das nichts anders, als dass ich aus "g ist gleichmäßig stetig in Q" folgern soll, dass sie auch stetig in 0 ist?
Aber wie schreibt ich das denn in Beweisform hin?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_{0}} g(x+y)=g(x_{0}+y) \end{eqnarray*}$
Das müsste ja mein Ansatz sein, oder?
Und mein Ziel ist doch dann:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} g(x+y)=g(0+y) \end{eqnarray*}$

Aber wie kann ich denn das so umformen?

19.05.2008, 19:49

Dual Space

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Zitat:

Original von Ela.Martin
Also heißt das nichts anders, als dass ich aus "g ist gleichmäßig stetig in Q" folgern soll, dass sie auch stetig in 0 ist?

Nein, das ist trivial. Du sollst zeigen, dass g gleichmäßig stetig ist.

19.05.2008, 19:56

Ela.Martin

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Der Unterschied zwischen stetig und gleichmäßig stetig ist mir gar nicht geläufig.
Was heißt denn gleichmäßig stetig?

19.05.2008, 19:56

Dual Space

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---> http://de.wikipedia.org/wiki/Gleichm%C3%...Fige_Stetigkeit

Edit: Ich wollte dir aber nur die Aussage verständlich machen. Keine Ahnung ob es der kürzeste Weg ist die gleichmäßige Stetigkeit nachzuweisen.

19.05.2008, 20:04

Ela.Martin

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Ok dieser Link ist verständlich. Jedoch tauchen die Formeln mit den Beträgen bei mir nicht in der Mitschrift auf.
Aber trotzdem wäre ich interessiert es auf diesem Weg zu lösen. Aber wie kann man das den nachweisen?
Muss ich die Funktion g(x+y) einfach einsetzen?

19.05.2008, 20:11

Dual Space

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Hier könnte folgende Abschätzung hilfreich sein (Youngs Ungleichung):

$\begin{eqnarray*} g(x+y)=g(x)g(y)\leq\tfrac{1}{2}(g(x)^2+g(y)^2)=\tfrac{1}{2}(g(2x)+g(2y)) \end{eqnarray*}$

19.05.2008, 22:10

Mathespezialschüler

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Sei $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ in Null stetig. Beachte dann

$\begin{eqnarray*} g(x+h)=g(x)\cdot g(h) \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb Q \end{eqnarray*}$ .

Ist nun $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x_0\in\mathbb Q \end{eqnarray*}$ stetig, dann beachte

$\begin{eqnarray*} g(h)=g(x_0+h)\cdot g(-x_0) \end{eqnarray*}$ .

In beiden Fällen folgt die Behauptung durch den Grenzübergang $\begin{eqnarray*} h\to 0 \end{eqnarray*}$ mit geeigneter Begründung.

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