kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

22.01.2006, 10:46

Marx1

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Angabe: kgV (aus --> 26x,13x²,20x³)
Lösung: 260x³

Wie komme ich hier auf d. kgV?

Wenn ich jetzt die x weglasse würde ich wie folgt zerlegen! (weiß leider nicht was ich mit den x machen soll????)
Ich habe 26 zerlegt:

26 | 2
13 | 13
1 |

dann 13:

13|13
1 |

dann 20:

20|2
10|2
5 |5
1

Mein Problem ist nur wie ich mit den x,x²,x³ verfahren muß. Leider ist es in keinen meiner Lehrbücher richtig beschrieben. (hier werden nur Beispiele mit normalen Zahlen - also wie oben - gezeigt.

Wer kann mir helfen.
Danke im Voraus.

Marx1 verwirrt

22.01.2006, 11:17

Thales

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RE: kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)
Die Potenzen von x lassen sich ebenfalls in faktorisierter Form darstellen:

$\begin{eqnarray*} x = x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2 = x \cdot x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^3 = x \cdot x \cdot x \end{eqnarray*}$

Und jetzt verfahr damit genauso, wie bei der kgV-Bildung von Zahlen auch. Fällt Dir was auf?

22.01.2006, 11:23

Marx1

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kgV
Kannst es mir mal vorreichen... damit ich es verstehe!

Vielen Dank im Voraus.

Marx1

22.01.2006, 11:27

Marx1

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kgV
Damit ich mal ein Musterbeispiel richtig vorgerechnet habe ... und anschließend kann ich weitere Bsp. im (Lehr-)buch lösen.

Vielen Dank im Voraus.

lg
Marx1

22.01.2006, 11:32

Abakus

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RE: kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)
Die Frage ist hier, in welchem Ring du eigentlich rechnest. Abhängig davon wäre die Frage unterschiedlich zu beantworten.

Im Polynomring $\begin{eqnarray*} \mathbb R[x] \end{eqnarray*}$ hättest du $\begin{eqnarray*} kgv(26x, 13x^2, 20x^3) = x^3 \end{eqnarray*}$ , während sich über $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[x] \end{eqnarray*}$ dein Ergebnis ergibt. Vom Rechnen her behandelst du x wie eine Primzahl.

Ist $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ hier nur Platzhalter für eine ganze Zahl, musst du abhängig von der Primfaktorzerlegung von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ eine Fallunterscheidung machen.

Grüße Abakus smile

22.01.2006, 12:06

Marx1

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bitte einmal vorrechnen
bitte einmal vorrechnen. Danke

22.01.2006, 12:07

Marx1

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damit ich ein Musterbeispiel habe
danke

22.01.2006, 12:37

Abakus

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RE: damit ich ein Musterbeispiel habe
Es ist: $\begin{eqnarray*} 26x = 2^1 * 13^1 * x^1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 13x^2 = 13^1 x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 20x^3 = 2^2 * 5^1 * x^3 \end{eqnarray*}$

Die vorkommenden Primfaktoren sind also: $\begin{eqnarray*} 2, 5, 13, x \end{eqnarray*}$ .

Jetzt wird zu jedem Primfaktor der jeweils größte Exponent gesucht: $\begin{eqnarray*} 2^2, 5^1, 13^1, x^3 \end{eqnarray*}$

Damit ergibt sich das KGV zu: $\begin{eqnarray*} 2^2 * 5^1 * 13^1 * x^3 = 260x^3 \end{eqnarray*}$

Versuche mal $\begin{eqnarray*} KGV(36(x-1), 24(x+1), 10(x+1)^2) \end{eqnarray*}$ , wenn du Spass hast.

Grüße Abakus smile

22.01.2006, 19:35

Marx1

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kgV Beispiel: von Abakus: kgV von 36(x-1)...
So ich habs probiert... (keine Ahnung obs stimmt:

Angabe: 36 (x-1), 24(x+1), 10(x+1)²

Mein Lösungsvorschlag:
ich habs hier mal ausmultipliziert....
36x - 36

24x + 24

10x² + 10

dann...

36x = 3(hoch 1) mal 12(hoch 1) mal x (hoch 1)

24x = 2 (hoch 1) mal 12 (hoch 1) mal x (hoch 1)

10x² = 1 (hoch 1) mal x (hoch 2)

3 (hoch 1) mal 12 (hoch 1 ) mal x (hoch 2 ) mal 2 mal 1

= 36 mal 2 = 72x²

Lösung ist also 72x²

Stimmt das? Falls nicht bitte Lösung (inkl. Rechenvorgang ) bekannt geben. Danke nochmals f. deine Hilfe "Abakus"

23.01.2006, 00:13

Abakus

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RE: damit ich ein Musterbeispiel habe

Zitat:

Original von Abakus
Versuche mal $\begin{eqnarray*} KGV(36(x-1), 24(x+1), 10(x+1)^2) \end{eqnarray*}$ , wenn du Spass hast.

Das war wie folgt gedacht (Rechnung im Polynomring über $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ):

$\begin{eqnarray*} 36 * (x-1) = 2^2 * 3^2 * (x-1)^1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 24 * (x+1) = 2^3 * 3^1 * (x+1)^1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 10 * (x+1)^2 = 2^1 * 5^1 * (x+1)^2 \end{eqnarray*}$

Faktoren sind also: $\begin{eqnarray*} 2, 3, 5, (x-1), (x+1) \end{eqnarray*}$

Mit den maximalen Exponenten dann: $\begin{eqnarray*} 2^3 * 3^2 * 5^1 * (x-1)^1 * (x+1)^2 = 360 * (x-1) * (x+1)^2 \end{eqnarray*}$

Beachte, dass du am systematischsten zuerst eine Primfaktorzerlegung machst.

Grüße Abakus smile

PS: $\begin{eqnarray*} KGV(a, b) * GGT(a, b) = a * b \end{eqnarray*}$

26.03.2006, 17:49

baskent

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RE: damit ich ein Musterbeispiel habe

Zitat:

Original von Abakus

Zitat:

Original von Abakus
Versuche mal $\begin{eqnarray*} KGV(36(x-1), 24(x+1), 10(x+1)^2) \end{eqnarray*}$ , wenn du Spass hast.

PS: $\begin{eqnarray*} KGV(a, b) * GGT(a, b) = a * b \end{eqnarray*}$

Hallo ich habe auch probleme mit der KGV und habe bei der Suche diese Beispiele gesehen und wollte fragen wie es denn wäre wenn die Aufgabe so wäre:

$\begin{eqnarray*} 36*(x-8) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 24*(x+12) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 10*(x+9)^2 \end{eqnarray*}$

würde mann dann so rechnen?
$\begin{eqnarray*} 36 * (x-1) = 2^2 * 3^2 * (x-2^3)^1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 24 * (x+12) = 2^3 * 3^1 * (x+2*3^2)^1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 10 * (x+9)^2 = 2^1 * 5^1 * (x+3^3)^2 \end{eqnarray*}$

ist das richtig?

Vielen dank im Voraus.

27.03.2006, 00:17

Abakus

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RE: damit ich ein Musterbeispiel habe

Zitat:

Original von baskent
Hallo ich habe auch probleme mit der KGV und habe bei der Suche diese Beispiele gesehen und wollte fragen wie es denn wäre wenn die Aufgabe so wäre:

$\begin{eqnarray*} 36*(x-8) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 24*(x+12) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 10*(x+9)^2 \end{eqnarray*}$

würde mann dann so rechnen?
$\begin{eqnarray*} 36 * (x-1) = 2^2 * 3^2 * (x-2^3)^1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 24 * (x+12) = 2^3 * 3^1 * (x+2*3^2)^1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 10 * (x+9)^2 = 2^1 * 5^1 * (x+3^3)^2 \end{eqnarray*}$

Willkommen im Forum, baskent!

Die Zerlegung der Zahlen in Primzahlen ist ok. Die Linearfaktoren bleiben aber so. Hier hättest du dann:

$\begin{eqnarray*} KGV(36*(x-8), 24*(x+12), 10*(x+9)^2) = 2^3 * 3^2 * 5 *(x-8) * (x+12) * (x+9)^2 \end{eqnarray*}$

Zu beachten ist, dass dies eine Aussage im Polynomring $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[x] \end{eqnarray*}$ ist.

Grüße Abakus smile

27.03.2006, 15:14

baskent

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Vielen dank für die Hilfe. Und das ist echt super, dass es ein Forum für Mathematik gibt denn so kann man Sachen, die mann nicht versteht anders erklärt bekommen was sehr nützlich sein kann.
Ich bin dabei meinen Abitur nachzuholen und wir haben mit Algebra angefangen, wobei wir auch kgv besprochen haben. Nur die sache mit den klammern hatten wir noch nicht und was ein Polynomring ist weis ich auch nicht. Ich sehe aber den prenzip mit der Rechnung habe ich verstaden und denke dass die klammern in der klausur nicht vorkommen werden, da wir es nicht besprochen haben bzw. ich hoffe dass sie nicht vorkommen verwirrt

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