Mindestanforderungen an Funktion

19.05.2008, 21:40

Dual Space

Mindestanforderungen an Funktion

Neulich ist mir in einem anderen Zusammenhang eine falsche Antwort untergekommen, welche mich auf folgende Frage führte:

Sei G eine beliebige Menge aus IR. Welche Voraussetzungen muss eine Funktion $\begin{eqnarray*} f:G\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mindestens (Notwendigkeit!) erfüllen, so dass gilt

$\begin{eqnarray*} f(G)\text{ ist offen } \Longrightarrow G \text{ ist offen.} \end{eqnarray*}$

Rein intuitiv tippe ich auf stetig und injektiv. Geht noch weniger? verwirrt

19.05.2008, 22:18

Mathespezialschüler

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Ist $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ offen, so erfüllt jede Funktion deine Anforderungen. Außerdem erfüllt jede Funktion, für die $\begin{eqnarray*} f(G) \end{eqnarray*}$ nicht offen ist, dies ebenfalls, egal was $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist.

Oder ich habe dich falsch verstanden ...

19.05.2008, 22:22

Dual Space

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Ich frage mal anders:

Ich habe eine Menge G von der ich wissen will ob sie offen ist (rein hypothetisch). Betrachte die Aussage also als Test für die Offenheit. Was ist also die größte Klasse an "Testfunktionen"?

19.05.2008, 22:38

Mathespezialschüler

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Ok, fragst du also folgendes?

Es sei für eine beliebige Teilmenge $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ die Funktion $\begin{eqnarray*} f:G\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ gegeben, wobei bekannt ist, dass $\begin{eqnarray*} f(G) \end{eqnarray*}$ offen ist. Unter welchen Voraussetzungen ist dann notwendigerweise auch $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ offen?

Oder anders: Was muss für $\begin{eqnarray*} f:G\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ gelten, wenn $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(G) \end{eqnarray*}$ offen sind.

Ich vermute einfach mal, dass dies so sein soll. Dann ist weder Stetigkeit noch Injektivität eine Notwendigkeit. Die auf $\begin{eqnarray*} G=(-1,3) \end{eqnarray*}$ nicht injektive Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x)=x(x-1)(x-2) \end{eqnarray*}$

erfüllt nämlich das Gewünschte. Für die auf $\begin{eqnarray*} G=(0,1) \end{eqnarray*}$ nur in $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ stetige Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} x & \text{für }x\in (0,1)\cap \mathbb Q \\ 1-x & \text{für }x\in (0,1)\setminus\mathbb Q \end{cases} \end{eqnarray*}$

sind auch $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(G)=(0,1) \end{eqnarray*}$ offen.

Dass Stetigkeit aber hinreichend ist, ist klar. Wie das mit der Injektivität aussieht, weiß ich gerade nicht. Aber so weit vielleicht erstmal.

20.05.2008, 06:49

Dual Space

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Ok, fragst du also folgendes?

Es sei für eine beliebige Teilmenge $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ die Funktion $\begin{eqnarray*} f:G\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ gegeben, wobei bekannt ist, dass $\begin{eqnarray*} f(G) \end{eqnarray*}$ offen ist. Unter welchen Voraussetzungen ist dann notwendigerweise auch $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ offen?

Ganz genau.

OK ... die Notwendigkeit ist ziemlich mager wie deine Bspe zeigen. Gehen wir mal weiter zu hineichenden Kriterien. Stetigkeit allein ist übrigens nicht hinreichend, wie folgendes Gegenbeispiel zeigt:

Sei $\begin{eqnarray*} G=[0,\infty) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x)=x\sin x \end{eqnarray*}$ . Damit ist $\begin{eqnarray*} f(G)=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ offen, $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ hingegen nicht.

Trivialerweise wäre aber Bijektivität hinreichend. Vermutlich ist das aber schon zu viel verlangt.

@MSS: Vielleicht wird dir mein Interesse an der Frage deutlicher, wenn wir die Rückrichtung mit hinzunehmen. Also für welche f gilt: f(G) offen gdw. G offen.
Aus der linearen Funktionalanalysis kennt man den Begriff der offenen Abbildung, der eng mit der Eigenschaft der Rückichtung verbunden ist. Allerdings wird die Eigenschaft "offen" (meines Wissens) nur für lineare Funktionen verwandt.

20.05.2008, 15:05

Mathespezialschüler

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Stimmt, Stetigkeit ist nicht hinreichend, da hatte ich nicht genau genug gelesen. Aber warum ist Bijektivität (und damit sogar schon Injektivität) trivialerweise ausreichend?

Zitat:

Original von Dual Space
@MSS: Vielleicht wird dir mein Interesse an der Frage deutlicher, wenn wir die Rückrichtung mit hinzunehmen. Also für welche f gilt: f(G) offen gdw. G offen.

Die Frage läuft ja darauf hinaus, dass man davon ausgeht, $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(G) \end{eqnarray*}$ seien entweder beide offen oder beide abgeschlossen und nun fragt, was dann notwendigerweise für $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gelten muss. Ich kann mir aber nicht vorstellen, dass da etwas sinnvolles bei rauskommt.

20.05.2008, 15:28

Dual Space

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Aber warum ist Bijektivität (und damit sogar schon Injektivität) trivialerweise ausreichend?

Weil das impliziert, dass G dann das Urbild von f(G) ist. Ob da was sinnvolles rauskommt weiß ich auch nicht.

20.05.2008, 15:37

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Dual Space
Weil das impliziert, dass G dann das Urbild von f(G) ist.

Hm und weiter? verwirrt

20.05.2008, 15:59

Dual Space

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Dort wo ich so lax "Bijektivität" schrieb meinte ich eigentlich stetig+bijektiv - sorry.

20.05.2008, 17:32

Mathespezialschüler

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Ok, das ist zwar mMn dann immer noch nicht wirklich sofort klar (oder mein Beweis ist einfach zu kompliziert), aber es stimmt wohl.

Nagut, ich glaub, großartig weiterhelfen werd ich dir nun nicht mehr können, tut mir leid.

20.05.2008, 17:41

Dual Space

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Ok, das ist zwar mMn dann immer noch nicht wirklich sofort klar (oder mein Beweis ist einfach zu kompliziert), aber es stimmt wohl.

Wenn f bijektiv ist, so ist wie schon erwähnt G das Urbild von f. Dann liefert der Satz "Eine Funktion ist genau dann stetig, wenn Urbilder offener Mengen wieder offen sind." das gesuchte Resultat.

Ach ich wollte diese Frage nur mal in die Runde werfen, weil ich sie so interessant fand ... eine Lösung nützt mir direkt auch nichts.

Ich fand es schön mit dir drüber zu plaudern. smile

20.05.2008, 19:34

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Dual Space
Wenn f bijektiv ist, so ist wie schon erwähnt G das Urbild von f. Dann liefert der Satz "Eine Funktion ist genau dann stetig, wenn Urbilder offener Mengen wieder offen sind." das gesuchte Resultat.

Hehe, genau an den Satz hab ich vorhin auch gedacht und danach festgestellt, dass ich ihn eben nicht richtig gelesen habe. Und es ist irgendwie witzig zu sehen, dass du nun auf den (gleichen) Fehler reinfällst, den du mir schon einmal angekreidet hast. Ich zitiere nur noch einmal dein Beispiel:

Zitat:

Original von Dual Space
Sei $\begin{eqnarray*} G=[0,\infty) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x)=x\sin x \end{eqnarray*}$ . Damit ist $\begin{eqnarray*} f(G)=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ offen, $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ hingegen nicht.

Das wichtige an dem Satz oben ist, dass man ihn wirklich exakt wortwörtlich hinschreibt. Er lautet nämlich korrekterweise:

"Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f:G\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ ist genau dann stetig, wenn Urbilder offener Mengen $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ -offen sind (also relativ offen bezüglich $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ )."

Diese Zusatz vergisst man leider gerne ...

Zitat:

Original von Dual Space
Ich fand es schön mit dir drüber zu plaudern. smile

Ich auch.

20.05.2008, 20:02

Dual Space

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Das f aus meinem Bsp. ist aber nicht injektiv. So recht verstehe ich deinen Einwand (noch) nicht.

Aber trotzdem empfinde ich es immer wieder als eine gute Erfahrung zu sehen, dass selbst die Grundlagen aus der Ana I nicht so fest sitzen wie sie es offenbar sollten. Big Laugh

21.05.2008, 00:59

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Dual Space
Wenn f bijektiv ist, so ist wie schon erwähnt G das Urbild von f. Dann liefert der Satz "Eine Funktion ist genau dann stetig, wenn Urbilder offener Mengen wieder offen sind." das gesuchte Resultat.

In dem fettgedruckten Teil nutzt du ja die Bijektivität nicht. Und im ersten eigentlich auch nicht. Dass $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ das Urbild von $\begin{eqnarray*} f(G) \end{eqnarray*}$ ist, gilt ja irgendwie doch noch für jede Funktion. Augenzwinkern

21.05.2008, 07:08

Dual Space

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Dass $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ das Urbild von $\begin{eqnarray*} f(G) \end{eqnarray*}$ ist, gilt ja irgendwie doch noch für jede Funktion. Augenzwinkern

Nein für allgemeine Funktionen gilt lediglich $\begin{eqnarray*} G\subset f^{-1}(f(G)) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ hier natürlich nicht die Inverse bedeutet, aber das muss ich dir nicht erzählen. Big Laugh

21.05.2008, 10:09

WebFritzi

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f ist auf G definiert!

21.05.2008, 10:25

Dual Space

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Ja ... und weiter?

21.05.2008, 11:29

WebFritzi

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Zitat:

Original von Dual Space
für allgemeine Funktionen gilt lediglich $\begin{eqnarray*} G\subset f^{-1}(f(G)) \end{eqnarray*}$

Überleg dir mal, ob das in deinem Fall relevant ist...

21.05.2008, 11:48

Dual Space

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Ja ist es. Nimm z.B. die Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=1 \end{eqnarray*}$ . Diese ist für jedes $\begin{eqnarray*} G\subset\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ erklärt und es gilt

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(G))=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

21.05.2008, 12:09

WebFritzi

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Man Dual. Wieviele Tipps muss man dir denn noch geben. Augenzwinkern

Schau nochmal auf dein ursprüngliches Problem.

21.05.2008, 12:20

Dual Space

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Ich habe auch das Gefühl an irgendeiner Stelle schwer von Begriff zu sein. verwirrt

Also was ist denn deine Antwort auf die Frage? Was außer Stetigkeit muss eine Funktion noch mitbringen, um die Anforderung hinreichend zu erfüllen?

Edit: Nicht, dass ihr mich falsch versteht. Ich lehne mich an die Stetigkeitscharkterisierung. D.h. die Aussage soll für alle G aus dem Definitionsbereich von f gelten, nicht nur für ein beliebig festes.

21.05.2008, 12:30

WebFritzi

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Zitat:

Original von Dual Space
Ich habe auch das Gefühl an irgendeiner Stelle schwer von Begriff zu sein. verwirrt

OK, Auflösung. In deinem Problem fragst du nach Funktionen

$\begin{eqnarray*} f : G\to\mathbb R. \end{eqnarray*}$

Und für all solche Funktionen gilt $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(G)) = G. \end{eqnarray*}$

21.05.2008, 12:31

Dual Space

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Siehe mein Edit:

Zitat:

Original von Dual Space
Edit: Nicht, dass ihr mich falsch versteht. Ich lehne mich an die Stetigkeitscharkterisierung. D.h. die Aussage soll für alle G aus dem Definitionsbereich von f gelten, nicht nur für ein beliebig festes.

Zugegeben war die erste Formulierung des Problems nicht sehr geschickt.

21.05.2008, 12:34

WebFritzi

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Aber du hattest sie bestätigt. Vielleicht wirst du dir erstmal klar darüber, was jetzt wirklich dein Problem ist, und formulierst es klar und deutlich erneut.

21.05.2008, 14:10

Dual Space

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Ach vergesst es ... ich dachte ich werf' mal was in Runde - was soll's.

21.05.2008, 17:51

Mathespezialschüler

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Ok, also wenn ich es richtig verstanden habe, ging es dir jetzt eher um Funktionen $\begin{eqnarray*} f:X\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ und du fragst, welche Voraussetzungen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ erfüllen muss, damit eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ (genau dann) offen ist, wenn $\begin{eqnarray*} f(G) \end{eqnarray*}$ offen ist.

Selbst dafür ist deine Argumentation nicht ganz korrekt. Wie gesagt folgt aus der Gleichung $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(G))=G \end{eqnarray*}$ nur, dass $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ relativ offen bezüglich $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist. Ist allerdings auch $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ selbst offen in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , dann muss in diesem Fall auch $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ offen sein.

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