Endlicher Körper

19.05.2008, 21:53	vera86	Auf diesen Beitrag antworten »
Endlicher Körper Guten Abend, ich bin mir nicht sicher, wie ich folgendes zeigen kann: Gegeben ist ein endlicher Körper $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_q \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ Elementen und Charakteristik $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ . Wenn man die Körperelemente mit $\begin{eqnarray} k_1,\dots,k_q \end{eqnarray}$ bezeichnet so gilt: $\begin{eqnarray} k_1 + \dots + k_q = 0 \end{eqnarray}$ (also als Polynom über F_q betrachtet). Für Körper der Art $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ (p prim) kann man ja einfach die Reihe wie gewohnt ausrechnen und hat die Behauptung. Aber wie zeigt man es allgemein. Endliche Körper, deren Ordnung nicht prim ist, kann man ja nicht wie oben als Z/qZ schreiben?
19.05.2008, 22:11	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Setzt $\begin{eqnarray} \mathbb F_q \end{eqnarray}$ nicht voraus, dass q prim ist air
19.05.2008, 22:26	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, nur dass es eine Potenz einer Primzahl ist. Siehe Endlicher Körper.
20.05.2008, 00:52	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh sorry. Hatte mich gnadenlos verlesen air
20.05.2008, 07:27	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst mal ist die Behauptung für $\begin{eqnarray} q=2 \end{eqnarray}$ falsch; für $\begin{eqnarray} q\geq 3 \end{eqnarray}$ stimmt sie aber. Für nichtneutrale Gruppenelemente $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ einer Gruppe $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ gilt ja $\begin{eqnarray} g\cdot G = G \end{eqnarray}$ (ist oft nützlich, z.B. auch hier). Wenn man dies auf die Multiplikationsgruppe innerhalb von $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_q \end{eqnarray}$ anwendet, dann folgt die Behauptung nach einigen wenigen Umformungen mit dem Distributivgesetz.
20.05.2008, 09:54	vera86	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe nicht ganz wie das "+" ins Spiel kommt? Wenn $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ mult. Gruppe mit Elementen $\begin{eqnarray} g_1,\dots,g_{q-1} \end{eqnarray}$ hat man doch nur $\begin{eqnarray} G = g_1 \cdot \dots \cdot g_{q-1} G \end{eqnarray}$ ?
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20.05.2008, 10:00	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich rede von $\begin{eqnarray} g\cdot G \end{eqnarray}$ , und diese Elemente dann alle summieren. Die multilplikative Gruppe innerhalb $\begin{eqnarray} F_q \end{eqnarray}$ umfasst alle Elemente mit Ausnahme des Körpernullelements, also insgesamt $\begin{eqnarray} q-1 \end{eqnarray}$ Elemente. O.B.d.A. sei mal $\begin{eqnarray} k_q \end{eqnarray}$ dieses Körpernullelement, das schließen wir erstmal aus. Dann ist für $\begin{eqnarray} g\neq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g\cdot \sum_{j=1}^{q-1} k_j = \sum_{j=1}^{q-1} (g\cdot k_j) \stackrel{!}{=} \sum_{j=1}^{q-1} k_j \end{eqnarray}$ eben wegen $\begin{eqnarray} g\cdot G = G \end{eqnarray}$ !!!

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