nullstelle von 2x-e^(x)

Zu blöd nur, dass $\begin{eqnarray*} f(x)=2x-e^{x} \end{eqnarray*}$ gar keine reelle Nullstelle hat...

Aber dann kann man immerhin noch das nachweisen. Augenzwinkern

22.01.2006, 19:29

woot

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wie macht man das den mit der lambert-w-funktion?

22.01.2006, 19:35

Mathespezialschüler

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@Arthur
Ich hatte die Ableitung im Kopf, nicht die Funktion selbst. unglücklich

Gruß MSS

22.01.2006, 19:46

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Also zum Berechnen der Nullstelle der Ableitung genügt mir $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ , mit LambertW wüsste ich da nichts anzufangen.

22.01.2006, 19:49

Mathespezialschüler

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So meinte ich das ja nicht. Ich hab irgendwie die Ableitung für die Existenz einer Nullstelle genommen und die Funktion selbst dann wieder für die Berechnung. Aber frag nicht, warum! Augenzwinkern

Gruß MSS

22.01.2006, 19:53

woot

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diese funktion hat jetzt keine nullstellen, interessant wird es aber bei so einer funktion:
$\begin{eqnarray*} f(x)=3x-e^{x} \end{eqnarray*}$
diese hat nämlich zwei nullstellen (bei ca. 0,63 und 1,5)

wie berechne ich da die nullstellen? wenn es denn geht

22.01.2006, 20:02

therisen

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Hi,

das kann man nicht analytisch lösen. Für sowas hat man die LambertW-Funktion "erfunden".

Gruß, therisen

22.01.2006, 20:10

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Oder wenn man keine LambertW-Funktion zur Verfügung hat:

Eine näherungsweise Lösung ist mit dem Newtonverfahren möglich, also der Iteration

$\begin{eqnarray*} x_{n+1} = x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} = x_n-\frac{3x_n-e^{x_n}}{3-e^{x_n}} \end{eqnarray*}$

Die Maximumstelle der Funktion liegt bei $\begin{eqnarray*} x^*=\ln 3 \end{eqnarray*}$ , und man kann sich überlegen, dass für Newton-Startwerte $\begin{eqnarray*} x_0<x^* \end{eqnarray*}$ die Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ gegen die kleinere der beiden Nullstellen von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ konvergiert, während für Startwerte $\begin{eqnarray*} x_0>x^* \end{eqnarray*}$ eine Konvergenz gegen die größere Nullstelle erfolgt (liegt an der Konkavität von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ).

22.01.2006, 20:23

woot

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und wie geht es mit der lambert-w-funktion? das wäre mal interessant

22.01.2006, 20:34

DGU

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numerisch über eine Taylorreihe ist aber von Hand auch relativ mühsam zu bestimmen:

http://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html

22.01.2006, 21:14

marci_

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