Abstand zweier Mengen

22.01.2006, 20:09	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Abstand zweier Mengen Hi... wir haben für einen metrischen Raum (M,d) und zwei Teilmengen A und B von M den Abstand definiert durch: $\begin{eqnarray} dist(A,B) := inf \{ d(x,y) \| x \in A, y \in B \} \end{eqnarray}$ Es sei jetzt: $\begin{eqnarray} A \cap B = \varnothing \end{eqnarray}$ ich soll untersuchen, ob für folgende Annahmen stets gilt, dass dist(A,B)>0 ist: a) A und B sind offen, b) A und B sind abgeschlossen c) A ist abgeschlossen, B ist kompakt d) A und B sind kompakt eine Metrik hat doch die Eigenschaft, dass d(x,y) = 0 ist wenn x = y ist. und weil gilt $\begin{eqnarray} A \cap B = \varnothing \end{eqnarray}$ gibt es kein Element, was in A und B vorkommt. Deswegen kann doch der Abstand zwischen A und B gar nicht null sind und muss somit größer null sein, oder? aber ich meine, wir würden sicher nicht die 4 Fälle bekommen, wenn man sie gar nicht untersuchen braucht... wo ist mein Denkfehler?
22.01.2006, 20:29	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Menge $\begin{eqnarray} M=\left\{\left.\frac{1}{n}\ \right\|\ n\in\mathbb N\right\} \end{eqnarray}$ ist die Zahl $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ auch nicht enthalten, trotzdem ist $\begin{eqnarray} \inf M=0 \end{eqnarray}$ . Gruß MSS
22.01.2006, 21:26	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
a) solltest du selber herausbekommen. Und bei b) betrachte $\begin{eqnarray} M = \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ als Unterraum von $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ , versehen mit der euklidischen Metrik, und die Mengen $\begin{eqnarray} A,B \subset M \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} A = (-\infty,\sqrt{2}] \cap \mathbb{Q} \ , \ \ B = [\sqrt{2},\infty) \cap \mathbb{Q} \end{eqnarray}$
22.01.2006, 22:26	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, an euren Beispielen hab ich meinen Denkfehler gefunden... ich habe inf{...} mit min{...} vertauscht... dann bekommt die Aufgabe auch einen Sinn danke
23.01.2006, 20:34	Takeshi	Auf diesen Beitrag antworten »
Minimum macht eigentlich auch keinen Sinn, da das Minimum nicht unbedingt ex. muss. kleiner Tipp: a) und b) sind falsch, c) und d) sind richtig. Hast du schon eine Idee für Gegenbeispiele bzw. Beweise?
24.01.2006, 09:23	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Gegenbeispiele hab ich schon, aber am Beweis haperts noch... ich meine vom Prinzip her ist es klar... dadurch, dass die Menge kompakt ist, besitzt jede Folge eine konvergente Teilfolge deren Grenzwert zur Menge selbst gehört. Wenn der Durchschnitt von A und B nun leer sein soll kann der Abstand nicht beliebig klein gegen Null gemacht werden, denn entweder finde ich in beiden Mengen eine Folge, die gegen den gleichen Punkt konvergiert, womit der Punkt aber auch im Durchschnitt von A und B wäre oder solche Folgen existieren nicht, dann hab ich einen Abstand größer Null. aber das mathematisch aufzuschreiben ist noch ein Hindernis
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24.01.2006, 14:08	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Widerspruchsbeweis hilft bei c) sehr gut. Nimm also das Gegenteil an. Dann bekommst du wegen der Kompaktheit eine konvergente Teilfolge und dann ist es im Prinzip ganz einfach. d) ist damit natürlich gleich mitbewiesen. Gruß MSS
24.01.2006, 16:33	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
also soll ich annehmen, dass dist(A,B)=0 ist und dann zeigen, dass die Menge B dann nicht kompakt sein kann?

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