Stetigkeit einer Funktion

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someone Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit einer Funktion
Hallo,
ich soll zeigen das die Funktion
mit

stetig ist.

Ich möchte mal annehmen das ich die Konvergenz hingebekomme.

Aber mag mir jemand einen Tipp geben wie ich die Stetigkeit zeigen kann? Mich irritiert auch, das die ganzen Zahlen ausgeschlossen sind.

Hat jemand einen generellen Hinweis, wie ich Stetigkeit beweisen kann, bisher habe ich mir die Funktion immer vorgestellt oder angesehen.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Dass die ganzen Zahlen ausgeschlossen sind, hat einen ganz einfachen Grund: Ist nämlich , so wird zwangsläufig irgendwann die Differenz . Diesem Problem geht man damit ganz einfach aus dem Weg. Außerdem vermeidet man bei 1/x den Wert x=0.

Du könntest deine Reihe auf normale Konvergenz untersuchen. Die Glieder deiner Reihe sind ja alle stetig in und damit wärst du dann fertig.


EDIT: @MSS: Mit normaler Konvergenz meine ich die Konvergenz bezüglich der Supremumsnorm (und die Beschränktheit der Glieder).

Gruß, therisen
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von therisen
Du könntest deine Reihe auf normale Konvergenz untersuchen. Die Glieder deiner Reihe sind ja alle stetig in und damit wärst du dann fertig.

Das ist falsch. Ein hinreichendes Kriterium für die Stetigkeit der Grenzfunktion ist die gleichmäßige Konvergenz, keinesfalls aber die punktweise Konvergenz.

Gruß MSS

edit: Die Konvergenz bzgl. der Supremumsnorm ist natürlich dasselbe wie gleichmäßige Konvergenz. Ich hatte das "normal" falsch verstanden.
someone Auf diesen Beitrag antworten »
Teil: Konvergenz
Ich breche mir einen mit Konvergenz ab mag mir mal bitte da auf die Sprünge helfen.

Ich versuche mich sowohl mit dem Quotientenkriterium und mit dem Wurzelkriterium komme leider aber auf keinen grünen Zweig. Entweder habe ich ein paar Kniffe der Bruchrechnung wieder vergessen oder ich weiß auch nicht.

Ich werde noch mal eine andere Aufgaben machen. Wenn mir da jemand konkret auf die Sprünge helfen möchte, würde ich mich freuen, dann schaue ich später noch mal rein. Ansonsten werde ich das morgen in der Übung mit den anderen nochmal versuchen.

Vielen Dank für die Hilfe bisher.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, sei beliebig, aber . Für gilt dann:

.

Nun gilt für alle und außerdem

.

Schätze damit den Nenner und anschließend den ganzen Bruch ab. Damit hast du
  1. die (punktweise) Konvergenz in und
  2. die gleichmäßige Konvergenz auf dem beschränkten Intervall .

Aus 2. folgt, dass die Grenzfunktion in jedem Punkt stetig ist.

Gruß MSS
someone Auf diesen Beitrag antworten »
Danke
@Mathespezialschüler: Danke für die schnelle Hilfe, ich denke ich werde es für einen Teil umgesetzt bekommen.
 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe es nochmal ein wenig geändert, weil du im Grunde dasselbe machen kannst und gleich die Stetigkeit der Grenzfunktion über die gleichmäßige Konvergenz bekommst. Gucks dir mal an. Augenzwinkern

Gruß MSS
someone Auf diesen Beitrag antworten »
in der Bahn
Hab die Ergänzung gerade abgeschrieben und werde es mir in der Bahn noch mal ansehen.

Schönen Tag!
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