Konvergenzmenge einer Potenzreihe

22.01.2006, 20:58

Explorator

Konvergenzmenge einer Potenzreihe

Hallo,

ich habe wieder einen Stolperstein vor mir.

zu der Potenzreihe soll ich Konvergenzmenge K Untermenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ angeben.
Im Script ist der Begriff "Konvergenzmenge" kaum erklärt. Sie ist auf jedem Fall nicht gleich dem Radius, was eigentlich mit Menge und Radius(Wert) selbsterklärend ist...

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~\frac{n}{5^n}x^n \end{eqnarray*}$

also den Konvergenzradius habe ich mit Hilfe des Quotientenkriteriums wie folgt ausgerechnet:

$\begin{eqnarray*} \mid \frac{a_n}{a_{n+1}} \mid = \frac{n*5^{n+1}}{5^n*(n+1)}=5 \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} 5 \frac{n}{n+1}=5=r (Konvergenzradius) \end{eqnarray*}$

wie komme ich weiter zur Konvergenzmenge?

mfg

22.01.2006, 21:02

Mathespezialschüler

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Du weißt jetzt, dass die Potenzreihe für $\begin{eqnarray*} |x|<5 \end{eqnarray*}$ konvergiert und für $\begin{eqnarray*} |x|>5 \end{eqnarray*}$ divergiert. Die Fälle $\begin{eqnarray*} x=5 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=-5 \end{eqnarray*}$ musst du noch untersuchen. Dann hast du deine Konvergenzmenge.

Gruß MSS

22.01.2006, 21:58

Explorator

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Max, danke. Es wird etwas klarer.

also, für x=5 habe ich dann:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~ \frac{n}{5^n} 5^n \to n \to\infty \end{eqnarray*}$

diese Reihe ist divergent im Punkt x=5.

und für x=-5:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~ \frac{n}{5^n} (-5)^n = \sum_{n=1}^\infty ~(-1)^{n}n \end{eqnarray*}$

und nach dem Leibnitzschen Kriterium ist diese Reihe auch divergent im Punkt x=(-5).

Zusammenfassung:
Dann ist die Potenzreihe

für |x|<5 konvergent
für |x|>5 divergent
für x=5 divergent
für x=-5 divergent

stimmt das? verwirrt

22.01.2006, 22:08

Mathespezialschüler

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Ist alles richtig bis auf deine Begründung bei $\begin{eqnarray*} x=-5 \end{eqnarray*}$ . Das Ergebnis bleibt aber dasselbe, nur brauchst du eine andere Begründung.

Gruß MSS

22.01.2006, 22:22

Explorator

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Max, was könnte ich als Begründung angeben? Liege ich mit dem Kriterium nach Leibnitz ganz falsch? verwirrt

22.01.2006, 22:26

JochenX

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leibnizkriterium: ist a_n eine nullfolge >0 (bzw. <0) so konvergiert die alternierende reihe (-1)^n*a_n

deins ist genau andersrum: trotzdem (-1)^n*a_n konvergiert das nicht, denn a_n ist keine nullfolge; das ist was völlig anderes!

also einfach sagen, dass es nicht konvergiert, weil nicht über einer nullfolge summiert wird, was aber ein notwendiges kriterium für konvergenz ist!

22.01.2006, 22:28

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von LOED
leibnizkriterium: ist a_n eine nullfolge >0 (bzw. <0) so konvergiert die alternierende reihe (-1)^n*a_n

Falsch. Die Nullfolge sollte auch noch monoton sein. Augenzwinkern

Gruß MSS

22.01.2006, 22:29

Marcyman

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Das Leibnizkriterium ist nur eine hinreichende Bedingung für die Konvergenz einer Reihe, es sagt nichts über die Divergenz aus. Cauchy-Kriterium könnte weiter helfen.

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