Ableitungen | Beweis durch vollständige Induktion

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Calypso883i Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitungen | Beweis durch vollständige Induktion
Hallo,
Ich soll eine Vermutung aufstellen, wie die Ableitungen von f^n(x) aussehen und danach meine Vermutung mit vollständiger Induktion beweisen.

f(x)= wurzel(x)

Also meine Vermutung, nachdem ich meherere Sad((( Ableitungen gebildet habe, ist folgende:

Wenn wir eine Ableitung der Form a / ( (b) * x^(c/2) ) haben, ist die nächste Ableitung:

f^n(x) = (-1)^(n-1) * (a*c) / ( (2^n) * x^((n-1)/2) )

Aber wie kann ich des richtig aufschreiben (also meine Vermutung)

VOn der Induktion hab ich glaub ich auch nicht so nen Plan. Wie muss man da das richtig herleiten?
Ace Piet Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitungen | Beweis durch vollständige Induktion
Ich kann jetzt nicht so genau erkennen, wo die a,b,c herkommen, aber für eine differenzierbare Funktion f in einem Punkt x ist die n-te Potenz diff.bar gem. Produktregel und die Ableitung lautet gem. Kettenregel allgemein .

Mann kanns auch anders angehen... Wenn , dann ist und die Ableitung davon kommt mit der -Regel... , womit die endgültige Lösung direkt bekannt ist.

Wie baut man den künstlich als Induktionsbeweis über n, also der Potenz der Funktion auf? Und ich hoffe, Du meinst mit n nicht die n-te Ableitung *urggh*

Induktionsanfang n=1:

Gilt die Formel für n, zeige sie auch für n+1 (nennt man Induktionsschritt): Dazu benutze die Produktregel für ,stelle fest, daß rechts von = nur die Induktionsvoraussetzung und der Induktionsanfang auftauchen und setze Deine Erkenntnisse ein, um letztendlich = zu zeigen...

Dein Eigenanteil sollte also die Umformulierung nach der Produktregel sein.

HTH -Ace-
Calypso883i Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe hieß:

http://knoten.homeunix.org/MA3.GIF








Da wo es im Zähler nicht weitergeht, müsste ich den Zähler von der Stammfunktion einfügen. Ich dachte man sollte das so machen. Vielleicht habe ich einfach zu kompliziert gedacht.


Also Halte ich mich mal an


Aber sagen wir, ich will die dritte Ableitung: Also:
3 * f''(x) * f'(x)
richtig?
Wenn ich das aber ausrechne, also
3* (-1/(4*x^(3/2))* (1/(2x^(1/2)) ungleich f'''(x)



>Und ich hoffe, Du meinst mit n nicht die n-te Ableitung *urggh*
Ehm?
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Calypso,

Ace Piet hat dich hier falsch verstanden, deswegen brauchst du seinen Post nicht weiter beachten Augenzwinkern (Sorry Ace)

So, um nun deine Vermutung aufzustellen, brauchst du eine direkte Darstellung der n-ten Ableitung, d.h. diese sollte nur von x und n abhängen und nicht, wie bei dir von der (n-1)-ten Ableitung. Deine Version nennt man eine rekursive Definition, die hilft dir hier aber nicht weiter bzw. ist nicht gefordert.

Hast du hierfür auch eine Idee?

Gruß vom Ben
Ace Piet Auf diesen Beitrag antworten »

Mein *urgh* traf also zu, wir wollen eine n-te Ableitung und nicht eine Ableitung zu der n-ten Potenz. - Vergiss also alles vorherige.

Wenn ich mir die 3-te Ableitung von ansehe...


=
.
.
.
komme ich zu der Vermutung
ist die n-te Ableitung von (*)

Den Induktionsanfang kannst Du noch gebrauchen und für den Ind.Schritt leitest Du (*) noch einmal ab.

Wink

Nachtrag:
Im Entwicklungspunkt wird die x-Potenz =1,
also ist die Taylorreihe
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ace Piet
komme ich zu der Vermutung
ist die n-te Ableitung von (*)


Ist das nicht eine der Hauptschwierigkeiten der Aufgabe, die Calypso erst einmal selbst hätte probieren sollen?

Hab überlegt, ob ich's wegmachen soll, aber jetzt kannst du selbst entscheiden, Calypso, ob du direkt guckst, oder erst einmal selbst dein Glück versuchst, nach meinem obigen Tipp Augenzwinkern

Gruß vom Ben
 
 
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