Matrixdarstellung bzgl. einer Basis

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Mazze Auf diesen Beitrag antworten »
Matrixdarstellung bzgl. einer Basis
Ok, wir haben einen

D.h für eine Basis B des VR das

Die Matrixdarstellung der linearen Abbildung V -> V ist also aus dem

Ok wie soll das Funktionieren?
Wenn die Matrix ist muss doch



sein. Aber die Dimensionen stimmen hinten und vorne nicht. Ich kann keine n²xn² Matrix mit einer nxn matrix multiplizieren.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

beachte, dass deine nxn-matrizen auch in koordinatendarstellung zu deiner geordneten basis sind (wie deine lin. abbildung)
sie sind also spaltenvektoren mit n^2 komponenten und plötzlich geht deine multplikation wieder
und insb. gibt F*X dann auch wieder einen spaltenvektor des passenden formates

mfg jochen
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ja der ist ja Isomorph zum . Insofern sind das ja nur Darstellungsvarianten. Das Problem ist eher das ich für eine lineare Abbildung zeigen soll das eine Eindeutige Matrix K(S) Existiert so das



ist. vec(X) ist dann einfach die lineare Abbildung die einer Matrix ihre Koordinatendarstellung zuweißt. Ich kann nur nicht einfach schreiben das



Die beiden sind Isomorph nicht gleich. ist in dem Fall die Matrixdarstellung.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Die beiden sind Isomorph nicht gleich.

wo ist der unterschied? oO


irgendwie habe ich das gefühl, das kann man umgehen, wenn man bewiesen hat, dass für jeden endlichen K-Vektorraum V mit basis {b1,....,bm} jede lineare abbildung eine eindeutige darstellungsmatrix hat (nämlich aus dem Matrizenring K^mxm)....
dann ist das hier nämlich nur ein Spezialfall und nicht weiter tragisch.

Mir fällt dazu eigentlich kein Gegenbeispiel ein, das sollte stimmen.
Allerdings weiß ich auch nicht, wie man den allgemeinen Fall beweist..... läuft ja aber eigentlich nur darauf hinaus, die eindeutigkeit eines LGSes zu beweisen oder (denn die l.a. ist ja auf b1,...,bm festgelegt)?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Es läuft ja im wesentlichen darauf hinaus das ich die darstellende Matrix irgendwie benutz.

Zitat:
wo ist der unterschied?




?

Mein Beweis verläuft halt so bin aber unzufrieden damit.

Sei es ist vec(v) = v
(aus der Definition von vec)

Sei eine Basis und die Darstellende Matrix von S

(gilt nach Satz aus Skript)

=>



Eindeutigkeit:

Sei mit

=>



?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mazze
Zitat:
wo ist der unterschied?



ist ja schon richtig, siehe "oO" smiley oben....


Zitat:
Sei es ist vec(v) = v
(aus der Definition von vec)

schon damit bin ich unzufrieden, dass ist nämlich i.A. falsch, dass stimmt nur, wenn du die geordnete standardbasis (also die einheitsvektoren, bi derjenige einheitsvektor mit 1 in i-ter komponente nimmst)

dein beweis am anfang sieht doch schon irgendwie nach "schon bekannt" aus....

der zweite teil ist mir grad zu hoch, was machst du da?
dass SB zumindest eine gute wahl für S2 ist, folgt aus def. der darstellungsmatrix.
wenn, dann solltest du S1 und S2 nehmen, die beide erfüllen, dass sie eine darstellugsmatrix sind und dann S1=S2 zeigen....
 
 
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
schon damit bin ich unzufrieden, dass ist nämlich i.A. falsch, dass stimmt nur, wenn du die geordnete standardbasis (also die einheitsvektoren, bi derjenige einheitsvektor mit 1 in i-ter komponente nimmst)


Hab ich dann auch nicht benutz Hammer

Also die Existenz ist nicht das Problem. Eher die Eindeutigkeit. Die Matrixdarstellung bzgl. einer Basis ist eindeutig. Damit die Matrix K(S) eindeutig ist darf es also nur eine Basis geben bzgl. dieser die Matrix das GLS



erfüllt. Die Basis wäre dann die geordnete Standartbasis. Zu zeigen wäre doch das jede Matrix bzgl. einer anderen Basis das GLS nicht lößt und weiter noch das die Lösung des GLS ausschließlich die darstellenden Matrizen von S sind.

also wenn ich aus



folgern könnte das S1 = S2 , wärs um so schöner. Dann hätte man das alles ja auf einen Schlag, da man SB ja kennt.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

tut mir leid, dass ich nicht ganz deine arbeit hinter der ganzen sache entdecke, aber bislang kommts mir dein beweis so vor, wie ich das oben schon gesagt habe: irgendwie hat man das alles schon mal gesehen Augenzwinkern
deine basis ist an sich doch fest gewählt....... verwirrt

wenn du also in deiner gleichung S1*vec(x)=S2*vec(x) je die gleiche basisdarstellung "vec" betrachtest (was ich aus deiner aussage über "die andere mögliche basis zu der..." nicht ganz rauslesen kann), dann ist die sache einfach.
nimm an, S1 und S2 würden sich in der komponente i,j unterscheiden.
multipliziere mit der basisdarstellung von bi (in basisdarstellung (0,....,0,1,0,....,0) an der i-ten stelle 1)
die j-te komponente des ergebnisvektors unterscheidet sich dann auf den beiden seiten, ergo können sie nicht gleich sein, ergo, dürfen sich S1, S2 nicht..... also......
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, danke. Dann is ja sofort klar das S1 = S2 sein muss. Soll ja für alle X gelten, also auch für spezielle.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ja, das ist der beweis, dass eine darstellungsmatrix zu einer gegebenen basis, wenn existent, dann eindeutig ist

wenn der rest dir dann klar ist (durch den ganze threadverlauf habe ich den roten faden wohl verloren), dann isses ja die hauptsache

Wink
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