Beweise folgende Ungleichung

23.01.2006, 15:50

Ivo

Beweise folgende Ungleichung

Einen guten Tag wünsche ich,

und möchte direkt eine Bitte an unsere Algebra Experten äussern.
Und zwar bräuchte ich Hilfe bei folgender Aufgabe

Seien $\begin{eqnarray*} U, V, W \end{eqnarray*}$ endlichdimensionale K-Vektorräume $\begin{eqnarray*} F : U \longrightarrow V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} G : V \longrightarrow W \end{eqnarray*}$ lineare Abbildungen.
Beweise folgende Ungleichung :

$\begin{eqnarray*} rang (F) + rang (G) - dim (V) \le rang (G \circ F) \le min \end{eqnarray*}$ { $\begin{eqnarray*} rang (F), rang (G) \end{eqnarray*}$ }

ich bin für jede Hilfe äusserst dankbar

23.01.2006, 16:29

JochenX

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soll rang(F)=dim(Bild(F)) sein?

vom rang würde ich nur bei matrizen sprechen, die bilddimension entspricht natürlich dem rang der matrix

beachte die dimensionsformel f: V -> W lineare abbildung; dim(V)=dim(bild(f))+dim(kern(f))

23.01.2006, 16:48

Ivo

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also zu deinen fragen kann ich dir nicht viel sagen,
denn ich habe keine weiteren Informationen,
als bereits erwähnt.

nehmen wir mal an,
der rang einer Abbildung wäre die dimension der Zielmenge.

dann foglt doch :

dim(V) + dim(W) - dim(V) $\begin{eqnarray*} \le \end{eqnarray*}$ dim(W) $\begin{eqnarray*} \le \end{eqnarray*}$ min { dim(V), dim(W)}

oder irre ich mich ?

23.01.2006, 16:52

JochenX

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Zitat:

Original von Ivo
dann foglt doch :

dim(V) + dim(W) - dim(V) $\begin{eqnarray*} \le \end{eqnarray*}$ dim(W) $\begin{eqnarray*} \le \end{eqnarray*}$ min { dim(V), dim(W)}

oder irre ich mich ?

naja, dimV+ dimW-dimV=dimW, die erste deiner ungleichungen stimmt, ist aber unnütz Augenzwinkern

die zweite ungleichung ist im allgemeinen falsch...... dimV kann kleiner sein als dimW, richtig wäre aber dim(bild(f)) als teilraum von V ist <dimV

23.01.2006, 16:59

Ivo

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also .. ma ganz langsam, damit auch ein erstsemestler mitkommt Big Laugh

wie bestimmt man überhaupt den rang einer linearen abbildung.

ist damit der Rang der zur lin. Abb. gehörigen Matrix gemeint.
Wenn ja, wie zum teufel soll man den rang der matrix bestimmen, wenn keine matrix anegeben wurde.

Oder ist der ansatz ein adnerer, z.b.

definiere rang(F) = n
definiere rang(G) = m

usw...

23.01.2006, 17:04

JochenX

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Zitat:

Original von Ivo
wie bestimmt man überhaupt den rang einer linearen abbildung.

habe ich oben vermutet: rang einer abbildung = dimension des bildes, aber ansonsten kenne ich das so als begriff auch nicht - GENAUER LESEN
dabei gilt: durch abbilden wird die dimension (also im vergleich urbildraum, bild als TEILRAUM der zielmenge) höchstens kleiner (denn beachte: habe V n basisvektoren, dann spannen deren n bilder höchstens einen n-dim raum auf

vielleicht kannst du damit ja schon mal die zweite ungleichung erkunden....

überhaupt wäre es erst mal gut, zu wissen, was du überhaupt schon kennst bzw. selbst weißt etc.

23.01.2006, 17:34

Ivo

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also tut mir leid, aber ich weiss echt nicht wie ich da anfangen soll.

Dieses Thema erscheint mir ähnlich,
wirst du vielleicht daraus schlau ?

rang-Ungleichung

23.01.2006, 18:03

Ivo

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also gehen wir mal davon aus,
dass der rang(F) tatsächlich der Dimension des Bildes entspricht.

Sei F : U ----> V
Kann ich davon aus gehen, dass die dim Bild(F) = dim U ist ?

23.01.2006, 20:12

JochenX

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jo, das ist genau die gleiche aufgabe; habe ich ja schon gesagt, wenn man schluderig "matrix = lineare abbildung" setzt ist die aufgabe sogar völlig identisch.

helfen dir die dort angegebenen tipps?

24.01.2006, 20:56

Ivo

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naja ... der abgabetermin ist vorbei, mal schauen wieviel punkte ich krieg.

zu spät kommt die erkenntnis

für jeden untervektorraum U, eines endlich erzeugten vektorraums V gilt :

dim U $\begin{eqnarray*} \le \end{eqnarray*}$ dim V

naja, hät ich mir auch denken können, trotzdem danke Wink

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