Frage zu Grenzwert

23.01.2006, 15:59

HomerJay

Frage zu Grenzwert

Hallo,

ich habe mal eine allgemeine Frage zur Grenzwertberechnung:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (1 + \frac{1}{n} )^{n} \end{eqnarray*}$

hier würde ich ziemlich naiv einen grenzwert von 1 angeben...was jedoch nach meinem buch falsch ist. dort wird ein grenzwert von e angegeben...

wie kann man den herleiten?

Vielen Dank
Oli

23.01.2006, 16:33

JochenX

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zur begründung, warum nicht 1:
dein wert geht zwar beliebig nah an eins ran, wird dabei aber auch hoch seeehr viel genommen und etwas mehr als 1 hoch sehr viel ist halt nicht 1 in diesem falle.
das "hoch n" darfst du nicht vernachlässigen.

zur herleitung: üblicherweise ist dieser grenzwert doch definiert als e, bzw. e ist als dieser grenzwert definiert. verwirrt

wie man dann berechnet, dass das 2,718... ungrad ist, weiß ich aber auch nicht.

kann mich aber auch ganz irren Augenzwinkern

23.01.2006, 17:24

anna_lyse

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jo das geht nicht, erst den limes in dieser klammer ablesen, die dann n-mal potenziert wird.
man könnte die klammer über den binomischen lehrsatz umformen zu einer summe, was praktisch eine weitere definition von e wäre.

$\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n})^n= \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot (\frac {1}{n})^k=\sum_{k=0}^{n}\frac{n!}{(n-k)! \cdot k! \cdot n^k}=\sum_{k=0}^{n}\frac{(n-k)!\cdot n^k}{(n-k)!\cdot n^k \cdot k!}=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$
und dabei müsste man jetzt n noch gegen unendlich gehen lassen.
weiß zwar nicht, was man davon hat,
aber naja, zumindest hab ich wieder mal bisserl latex geübt Big Laugh

23.01.2006, 17:29

Lazarus

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Wie LOED gesagt hat, isses einfach eine Definitionssache die Zahl 2,7181... einfach "e" zu nennen, damit man nicht jedesmal in die Ungenauigkeit abdriftet.

Herleiten kann man z.b. so:

Es sei folgendes Problem:
$\begin{eqnarray*} \text{An welchem Punkt des Graphen }G_f \text{ von der Funktion} f(x)= \frac{1}{x} \text{ beträgt die Fläche von der Stelle x=1 genau 1 FE?} \end{eqnarray*}$
Durch eine Intervallschachtelung um das Integral kommt man dann dazu das $\begin{eqnarray*} \ln{ \left(\lim_{n\to\infty} {\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}\right)}=1 \end{eqnarray*}$ ist. Ln ist dabei nichts als die definierte Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$
Und da der Term $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (1 + \frac{1}{n} )^{n} \end{eqnarray*}$ so einen besch..eidenen Grenzwert liefert definiert man diese krumme Zahl ganz einfach als "e", um sich die Schreibarbeit zu erleichtern.

Und wieder mal ist bewiesen:

Zitat:

Ein Mathematiker hat nur solange ein Problem, bis er es sich wegdefiniert.

Wie hier im board mal jemand zitiert wurde ^^

Berechnen lässt sich das lediglich durch das Einsetzten von großen Zahlen für n.
Ist eine ähnliche Problematik wie die Frage nach der (ersten positiven) Nullstelle des Sinus, da kommt man auch nur durch die Definition von Pi auf einen grünen Zweig.

Servus

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