Umkehrfunktionen

23.01.2006, 16:01

PG

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Umkehrfunktionen

Hallo
ich habe mal eine frage bezüglich der umkehrfunktionen!
ein-eindeutige zuordnungen haben ja umkehrfunktionen, z.b.
$\begin{eqnarray*} f(x)=5x+5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=46x-5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{x+1} \end{eqnarray*}$

eindeutige funktionen haben ja keine umkehrfunktionen,z.b.

$\begin{eqnarray*} f(x)=2x^2+3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^3+2x+2x^45 \end{eqnarray*}$

aber man kann trotzdem von ihnen umkehrfunktionen bilden, aber warum sagt man dann, dass sie keine umkehrfunktion hätten?? aufgrund der beschränkung bei der "umkehrfunktion" im definitionsbereich??

wie kann ich direkt ablesen, dass es sich um ein-eindeutige funktionen handelt?

23.01.2006, 16:06

Dual Space

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RE: Umkehrfunktionen

Zitat:

Original von PG
wie kann ich direkt ablesen, dass es sich um ein-eindeutige funktionen handelt?

Ein Kriterium wäre zum Beispiel die strenge Monotonie der Funktion.

23.01.2006, 16:22

PG

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...war das schon die antwort verwirrt

verwirrt

also nochmal die fragen einzeln:
1. warum sagt man ,dass sie keine umkehrfunktionen hätte, wobei man z.b. von $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ die umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ bilden kann? also warum sagt man keine??? das müsste doch bedeuten,dass es mathematisch nicht möglich wäre, also rechnerisch, aber es ist doch möglich!!!

2.ist eine umkehrfunktion erst dann vorhanden, wenn sie den definitionsbereich $\begin{eqnarray*} xelD=lR \end{eqnarray*}$ besitzt,also keine einschränkungen im definitionsbereich hätte?

3.dual, es ist mir klar, dass wenn eine funktion einen ein-eindeutige zuordnung besitzt gleichzeitig auch streng monoton ist! aber die monotonieverhalten musst du doch erst bestimmen, um sagen zu können, dass es sich hierbei um eine eindeutige bzw. ein-eindeutige zuordnung handelt!
also gibs da net bestimmte regel? z.b. besitzen alle lineare funktionen eine umkehrfunktion... gibs da noch weitere "regeln"?

23.01.2006, 16:36

Dual Space

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Zitat:

Original von PG
1. warum sagt man ,dass sie keine umkehrfunktionen hätte, wobei man z.b. von $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ die umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ bilden kann? also warum sagt man keine??? das müsste doch bedeuten,dass es mathematisch nicht möglich wäre, also rechnerisch, aber es ist doch möglich!!!

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ ist NICHT die Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray*} g(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ . Man kann aber sagen, dass f die Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray*} g|_{\mathbb{R}_+} \end{eqnarray*}$ (also von der Einschränkung von g auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}_+ \end{eqnarray*}$ ) ist.

Zitat:

2.ist eine umkehrfunktion erst dann vorhanden, wenn sie den definitionsbereich $\begin{eqnarray*} xelD=lR \end{eqnarray*}$ besitzt,also keine einschränkungen im definitionsbereich hätte?

Was bedeutet $\begin{eqnarray*} xelD=lR \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

3.dual, es ist mir klar, dass wenn eine funktion einen ein-eindeutige zuordnung besitzt gleichzeitig auch streng monoton ist! aber die monotonieverhalten musst du doch erst bestimmen, um sagen zu können, dass es sich hierbei um eine eindeutige bzw. ein-eindeutige zuordnung handelt!
also gibs da net bestimmte regel? z.b. besitzen alle lineare funktionen eine umkehrfunktion... gibs da noch weitere "regeln"?

Vorsicht, denn die Funktionen sollten schon stetig sein. Im endlichdimensionalen sind lineare Funktionen zwar stetig, sobald wir es aber mit unendlich vielen Dimensionen zu tun haben, stimmt das i.A. nicht mehr.
Kennst du keine Verfahren, um das Monotonieverhalten von Funktionen zu bestimmen?

23.01.2006, 16:55

PG

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ ist NICHT die Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray*} g(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ . Man kann aber sagen, dass f die Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray*} g|_{\mathbb{R}_+} \end{eqnarray*}$ (also von der Einschränkung von g auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}_+ \end{eqnarray*}$ ) ist.

lol?? was soll das jetzt? was haben sich die mathematiker da einfallen lassen? willst du mir damit sagen,dass eine funktion immer eine umkehrfunktion beinhaltet, wenn die ausgangsfunktion nur in dem intervall der definitionsbereich von seiner umkehrfunktion besitzt? also wenn z.b.
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ die umkehrfunktion
$\begin{eqnarray*} f^{-1}{x}=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ hat, wenn man f NUR den defintionsbereich von seiner umkehrfunktion zuordnet!

Zitat:

Was bedeutet $\begin{eqnarray*} xelD=lR \end{eqnarray*}$ ?

ich weiss nicht, wie man den geraden strich macht, daher mach ich einfach kleines L. das bedeutet: x ist element vom definitionsbereich gleich alle reele zahlen. also stimmt diese aussage?

[qoute]Vorsicht, denn die Funktionen sollten schon stetig sein. Im endlichdimensionalen sind lineare Funktionen zwar stetig, sobald wir es aber mit unendlich vielen Dimensionen zu tun haben, stimmt das i.A. nicht mehr.
Kennst du keine Verfahren, um das Monotonieverhalten von Funktionen zu bestimmen?[/QUOTE]

ich weiss, dass man die monotonie mit der ableitung bestimmen kann,aber die hatten wir bisher net! gibs da auch andere verfahren? wäre interessant...
also ich meine alle stetigen linearen funktion... man kann doch auch sagen, alle exponentialfunktionen oder logarithmen,die auch stetig sind.

was meinst du mit endlichdimensional und unendlich vielen dimensionalen?

ich habe noch eine frage:

was ist ein kartesisches koordinatensystem?

23.01.2006, 17:14

Dual Space

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Zitat:

Original von PG
was soll das jetzt? was haben sich die mathematiker da einfallen lassen? willst du mir damit sagen,dass eine funktion immer eine umkehrfunktion beinhaltet, wenn die ausgangsfunktion nur in dem intervall der definitionsbereich von seiner umkehrfunktion besitzt? also wenn z.b.
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ die umkehrfunktion
$\begin{eqnarray*} f^{-1}{x}=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ hat, wenn man f NUR den defintionsbereich von seiner umkehrfunktion zuordnet!

Nein, das bedeutet, dass man eine Funktion (mit hinreichend guten Eigenschaften) nur auf Intervallen umkehren kann, in denen sie z.B. streng monoton ist.

Zitat:

ich weiss nicht, wie man den geraden strich macht, daher mach ich einfach kleines L.

$\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ schreibt man so

code:
1:	[latex]\mathbb{R}[/latex]

Zitat:

das bedeutet: x ist element vom definitionsbereich gleich alle reele zahlen. also stimmt diese aussage?

Nein, sie stimmt so nicht, wie das Beispiel mit $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ illustrieren sollte.

Zitat:

ich weiss, dass man die monotonie mit der ableitung bestimmen kann,aber die hatten wir bisher net! gibs da auch andere verfahren? wäre interessant...

Ja, es gibt noch andere Verfahren, aber auf die Schnelle fällt mir jetzt keins ein, was ohne Ableitungen auskommt (vielleicht kann die Frage ja wer anders beantworten)!

Zitat:

also ich meine alle stetigen linearen funktion... man kann doch auch sagen, alle exponentialfunktionen oder logarithmen,die auch stetig sind.

Eben weil diese Funktionen streng monoton (und stetig) sind.

Zitat:

was meinst du mit endlichdimensional und unendlich vielen dimensionalen?

Da ihr noch keine Ableitungen eingeführt habt, gehe ich mal davon aus, dass dir unendlich dimensionale Räume bisher noch nicht begegnet sind ... mach dir darüber also vorerst keine Gedanken.

(@potentielle Kritiker: Ich bin mir bewusst, dass es keinen kausalen Zusammenhang zwischen der Kenntnis von Ableitungen und unendlichdimensionalen Räumen gibt!)

Zitat:

was ist ein kartesisches koordinatensystem?

Ein Koordinatensystem, dessen Achsen Geraden (also nicht krumlinig) sind und die paarweise orthogonal zueinander sind.
Edit: Also das, was immer in der Schule verwendet wurde/wird(?) (na zumindest war das damals bei mir so)!

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23.01.2006, 17:55

PG

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1.also ein kartesisches koordinatensystem ist das "normale" koordinatensystem,also das koordinatensystem,in dem der plotter zeichnet?

2. also ich machs noch genauer, damit ich endlich diese fragen los bin:
wir haben die ausgangsfunktion:
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$
wir wissen,dass dies keine umkehrfunktion hat, da dies eine eindeutige funktion ist! bilden wir trotzdem die umkehrfunktion:
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(x)=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$
dann gilt diese nur für
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb{D}=\mathbb{R^+_0} \end{eqnarray*}$

ist diese aussage richtig?

neue frage:
3: $\begin{eqnarray*} f(x)=x^3 \end{eqnarray*}$ hat doch eine umkehrfunktion, die doch folgendermaßen lautet:
$\begin{eqnarray*} f(x)^{-1}=^3\sqrt{x} \end{eqnarray*}$
denn die umkehrfunktion ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{D}=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$
stimmt das?

4. als regel kann man doch sagen: jede funktion, hat eine umkehrfunktion, wenn man die ausgangsfunktion in dem definitionsbereich einschränkt, so dass man die ausgangsfunktion genau in dem gleichen definitionsbereich wie die umkehrfuntion einschränkt. also hat eine umkehrfunktion den definitionsbereich $\begin{eqnarray*} \mathbb{D}=\mathbb{R^+} \end{eqnarray*}$ dann muss man die ausgangsfunktion in diesem Bereich einschränken,aber auch umgekehrt müsste man die umkehrfunktion in dem bereich von der ausgangsfunktion einschränken oder?? also das würde ich nach deiner definition verstehen
z.b.
$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mathbb{D}={R^+_0} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mathbb{D}={R^+_0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mathbb{D}={R^+_0} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(x)=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mathbb{D}={R^+_0} \end{eqnarray*}$

richtig so?

5. warum kann ich hier nicht diese funktion zeichnen:
$\begin{eqnarray*} f(x)=^3\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ ??
sie ist doch mit $\begin{eqnarray*} \mathbb{D}={R} \end{eqnarray*}$ oder?
dann aber auch die umkehrfunktion
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(x)=x^3 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mathbb{D}={R} \end{eqnarray*}$

schau mal ich kann das gar net zeichnen:

23.01.2006, 18:23

Lazarus

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1) ja
2) eine Nicht bijektive Funktion hat nicht Keine Umkehrfunktion sondern nicht genau eine.
also [Hier] mehrere (müssen nicht unbedingt genau 2 sein) verschiedene, jenach dem welchen abschnitt man betrachtet.
Beispiel f(x)=sin(x) hat unendlich viele umkehrfunktionen, wenn man den defbereich nicht einschränkt.

3) wurzeln sind allgemein nur für Poitive Radikanten definiert...

also auch hier: defbereich einschränken.

4) ich glaub du schmeisst da was durcheinander:
Aus dem Def-bereich von f wird der Wertebereich von f^-1.
aus dem Wertebereich von f der Deffbereich von f^-1

zum zeichnen:
zu musst den bruch schreiben als 1./3.:

\\edit: noch ein "hier" angefügt..

23.01.2006, 18:35

PG

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Zitat:

2) eine Nicht bijektive Funktion hat nicht Keine Umkehrfunktion sondern nicht genau eine.
also mehrere (müssen nicht unbedingt genau 2 sein) verschiedene, jenach dem welchen abschnitt man betrachtet.
Beispiel f(x)=sin(x) hat unendlich viele umkehrfunktionen, wenn man den defbereich nicht einschränkt.

was ist eine bijektive funktion?

Zitat:

3) wurzeln sind allgemein nur für Poitive Radikanten definiert...

also auch hier: defbereich einschränken.

sry, aber ich weiss net mehr was ein radikand ist... vielleicht der "exponent" der wurzel??

Zitat:

4) ich glaub du schmeisst da was durcheinander:
Aus dem Def-bereich von f wird der Wertebereich von f^-1.
aus dem Wertebereich von f der Deffbereich von f^-1

damit hast du meine größte frage beantwortet smile

smile

23.01.2006, 18:39

Lazarus

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bijektiv ist "eindeutig umkehrbar", oder Injektiv und Surjektiv
Dazu sei dir Dieser Wikipedia-Artikel zur hand gegeben.

Radikant ist das "Ding unter der Wurzel" Augenzwinkern

Augenzwinkern

zur Beantwortung: Da bin ich froh, das ich das geschafft habe, gibts neue Fragen ?

Servus

23.01.2006, 18:44

PG

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ok noch zwei fragen,bitte!!
also
1. warum ist
$\begin{eqnarray*} f(x)=^3\sqrt{x} \end{eqnarray*}$
nicht $\begin{eqnarray*} \mathbb{D}=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ??
man kann doch alle werte einsetzten, auch negative, denn es ist ja 3 wurzel ? (wie nennt man den" exponenten" der wurzel?)
ich seh es bei der zeichnung!! dort ist der definitionsbereich eingeschränkt!!

2.... hmm wie war die frage nochmal.... habs jetzt vergessen LOL Hammer

LOL Hammer

23.01.2006, 18:53

Poff

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Zitat:

Original von Lazarus
2) eine Nicht bijektive Funktion hat nicht Keine Umkehrfunktion sondern nicht genau eine.
also mehrere (müssen nicht unbedingt genau 2 sein) verschiedene, jenach dem welchen abschnitt man betrachtet.
Beispiel f(x)=sin(x) hat unendlich viele umkehrfunktionen, wenn man den defbereich nicht einschränkt.

die kann auch überhaupt keine haben.

23.01.2006, 18:55

Lazarus

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Eine Wurzelgleichung ist folgendermaßen aufgebaut:

$\begin{eqnarray*} \text{ Radix } = \sqrt[\text{Exponent}]{\text{Radikand}} \end{eqnarray*}$

und ich habe keine Ahnung woher dieser weitverbreitete Irrglaube kommt, aber der Operator " $\begin{eqnarray*} \sqrt[...]{...} \end{eqnarray*}$ " bezeichnet lediglich die positive Lösung der Gleichung $\begin{eqnarray*} x^{...}=... \end{eqnarray*}$ .

Servus

\\edit: in der Tat kann es auch vorkommen, das eine Funktion nicht umkehrbar ist.

Beispiel: $\begin{eqnarray*} f(x)=2 \end{eqnarray*}$

Die nachstehende Folgerung "also mehrere" bezog sich nur auf den aktuellen Fall und ist natürlich nicht verallgemeinerbar. Ich hab daher noch ein "Hier" angefügt, um diese Missverständlichkeit zu klären.
Danke für den Hinweis! Wink

Wink

\\edit2:
Ich Komme aus Franken, da machen wir keinen Unterschied zwischen "d" und "t" Augenzwinkern

Augenzwinkern

Peinlich, Peinlich ...

23.01.2006, 19:02

PG

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also ich versteh nicht, warum das der plotter net zeichnet...

ich meine doch, dass
$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt[3]{x} \end{eqnarray*}$ ist und daher muss sich der definitionsbereich über ganz R erstrecken also,
$\begin{eqnarray*} \mathbb{D}=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$
aber warum macht das der plotter net?
er zeichnet nur
$\begin{eqnarray*} \mathbb{D}=\mathbb{R^+_0} \end{eqnarray*}$

23.01.2006, 19:03

Poff

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Radikand

Augenzwinkern

23.01.2006, 19:08

Lazarus

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@ Poff: Ddu bist ein ganz schön aufmerksamer Leser!
Hab aus meinem RadikanT einen weichen RadikanDen gemacht Augenzwinkern

Augenzwinkern

@PG:

Les bitte meinen vorherigen Post nochmal.

Die Wurzel ist per Definitionem lediglich die positive Lösung.

Servus

23.01.2006, 19:09

Poff

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Wurzel ist per Definitionem lediglich die positive Lösung.

Servus

3.Wurzel(a) a<0 ist komplex

23.01.2006, 19:11

PG

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wie radikand? sagt mir, wenn ihr meine frage net verstanden habt, damit ich es euch erklären kann und ihr mir hoffentlich weiterhelfen könnt

edit: also man kann bei der dritten wurzel alle reelen zahlen einfügen, da der exponent ungerade ist!
also z.b.:
$\begin{eqnarray*} (2)^2=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (-2)^2=2 \end{eqnarray*}$ , daher
$\begin{eqnarray*} +-\sqrt{2}=-2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$
daher geht es bei negativen werten nicht!
aber bei der dritten wurzel ist es anders:
$\begin{eqnarray*} (2)^3=8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (-2)^3=-8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{-8}=-2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{8}=2 \end{eqnarray*}$

verstehst du jetzt was ich meine?das kannst du bei deinem taschenrechner ausprobieren!! das geht wirklich! daher versteh ich net, warum der plotter den negativen bereich auslässt? vielleicht programmierfehler?

23.01.2006, 19:27

Lazarus

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Wenn die Wurzel "schon dasteht", oder eine Zahl (z.b. sqrt(2)) durch die Operation ausgedrückt wird, ist das positive Ergebniss gemeint. (z.b. 1,414...)

Wenn du allerdings die Operation "Wurzel ziehen" anwendest, als Umkehrung des Quadrats, z.b. beim Lösen einer quadratischen Gleichung, dann musst du die Fälle unterscheiden, dass der quadratische Term ursprünglich mal ein positives oder ein negatives Vorzeichen hatte, bevor er quadriert wurde.

für alle höheren exponenten gilt gleiches entsprechend, und natürlich nur im reellen @ poff Augenzwinkern

Augenzwinkern

servus

23.01.2006, 19:32

PG

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ich rede nicht von quadratischen(also 2 als exponenten), sondern von der wurzel mit 3 als exponenten,denn da kann man für den radikand alle reele zahlen einfügen!

23.01.2006, 19:35

Poff

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3.Wurzel(-a) mit a>0 als -3.Wurzel(a) zu definieren führt zu
Problemen mit den Potenzgesetzen.

deshalb ist zB. 3.Wurzel(-8) nicht -3.Wurzel(8) = -2 sondern

1+i*Wurzel(3)

23.01.2006, 19:36

Lazarus

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eben nicht.@pg

das ist genau das was ich oben geschrieben hab:
Man muss die unterscheidung treffen zwischen Wurzel ziehen, als Umkehrung einer Potenzfunktion und der Wurzel die "schon dasteht".

servus

23.01.2006, 19:48

PG

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also ich erklärs nochmal:
du würdest doch mir zustimmen, wenn ich sagen würde, dass
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathbb{D_1}=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathbb{W_2}=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist und eine ein-eindeutige funktion

du würdest doch mir hoffentlich smile

smile

auch zustimmen, wenn ich sagen würde, dass
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x} \end{eqnarray*}$ ist

nun gilt folgendes,

$\begin{eqnarray*} \mathbb{D_1}=\mathbb{W_2}=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathbb{D_2}=\mathbb{W_1}=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$

also bedeutet das doch,dass die umkehrfunktion alle reele zahlen sowohl beim definitionsbereich und auch bei dem wertebereich besitzt. ich hoffe, dass du mir soweit zustimmst.
schau dir bitte nun die umkehrfunktion beim plotter an. dort werden nur positve und reele zahlen für die umkehrfunktion definiert und kommen als wert dann natürlich auch raus. da fehlt noch die hälfte der umkehrfunktion.
jetzt verstanden was ich meine?
das mit dem \mathebb ist komisch... also ich habe gemeint:
$\begin{eqnarray*} D_1=W_2=R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} W_1=D_2=R \end{eqnarray*}$

24.01.2006, 02:05

Poff

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Zitat:

Original von PG
du würdest doch mir hoffentlich smile

smile

auch zustimmen, wenn ich sagen würde, dass
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x} \end{eqnarray*}$ ist

nun gilt folgendes,

$\begin{eqnarray*} \mathbb{D_1}=\mathbb{W_2}=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathbb{D_2}=\mathbb{W_1}=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Nein,

f^(-1)(x) = 3.Wurzel(x) für x>=0 und
f^(-1)(x) = -3.Wurzel(-x) für x<0

so sieht sie aus, die Umkehrfunktion.

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