Probleme im Vektorraum...

Neue Frage »

jentowncity Auf diesen Beitrag antworten »
Probleme im Vektorraum...
Hallo Leute,

hab mal wieder ne Aufgabe bekommen, die ich nicht versteh:

Sei K ein Körper mit Einselement , für das ist und

,

Zeigen Sie, dass und untervektorräume von sind.

Ich hab zunächst ein paar allgemeine Frage:
Wie zeig ich, dass ein Raum ein Untervektorraum eines anderen ist?
Muss ich da irgendwas besonderes beachten bei Matrizen?

Ich hasse Vektorräume (vielleicht weil ich das nicht so richtig versteh) böse

Kann mir vielleicht jemand helfen?
Hilfe
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Also um zu zeigen das eine Menge ein Untervektorraum von einem anderen VR ist hast Du zwei Möglichkeiten

- Vektorraum Axiome durch-xen
- zeigen das U eine Teilmenge von V ist

oder besser

U ist ein Untervektorraum von V wenn gilt





Du musst also zeigen das

- eine symmetrische Matrix + eine symmetrische Matrix wieder eine symmetrische Matrix ergibt.
- eine symmetrische Matrix mal einem Körperelement symmetrisch ist

für die zweite Menge ganz analog.
 
 
jentowncity Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, für die Satrthilfe!

Aber ist es bei der ersten Menge nicht sehr einfach?
Die Symmetrische Matrix zu ist doch nach der Formel wieder , denn hier ist ja .
Also muss ich dann nur zeigen, dass wieder eine symmetrische Matrix ergibt, und das sieht man doch sofort.
Denn die entstandene Matrix ist ja wieder, nach Anwendung der Formel , symmetrisch.

Bei der zweiten Menge wär die schiefsymmetrische Matrix zu , wieder , denn

Und jetzt, analog zur ersten Menge, folgt wieder, dass die entstandene Matrix wieder eine schiefsymmetrische ist.

Und die zweite Bed. ist ja auch erfüllt, da .

Habe ich jetzt gezeigt, dass und Untervektorräume von sind?

Kann mir das jemand bestätigen, oder wenn das falsch ist die Fehler andeuten?
Lehrer

Ist mein Weg zu kompliziert?
Oder warum antwortet keiner?

Es ist doch leicht einzusehen, dass eine symmetrische Matrix mit Elementen und und eine andere, auch symmetrische, mit denselben Elementen, nur vielleicht mit etwas grösseren "Abmaßen" wieder eine symmetrische Matrix ergibt.

Das gleiche gilt dann analog für schiefsymmetrische Matrizen.

Kann mir das jemand bestätigen????
Oder ist grad keiner da?

verwirrt
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Weg ist definitiv zu kompliziert. Du musst die Formel für die symmetrische Matrix nicht benutzen. A ist bereits symmetrisch du musst zeigen das



und das ist trivial wenn man weiss das ist.

Versuche erstmal die Mengen die Du da hast zu verstehen. Du must A nicht symmetrisch schreiben. A ist symmetrisch.

edit

Benutze in zukunft die edit funktion

Zitat:
Habe ich jetzt gezeigt, dass und Untervektorräume von sind?


Nein hast Du nicht, schau Dir nochmal die bedingungen an!
jentowncity Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Mazze!
Das ist dann ja echt trivial, wenn man das so zeigt wie du meinst.

Aber die zweite Bed. ist doch noch einfacher zu zeigen, denn bleibt Element von

Die Zwiete Menge müsste dann analog
und das ist ja wieder trivial, wenn man weiß, dass

Stimmt das alles?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Jo soweit stimmt es nur die Form ist noch unsauber. Du musst sagen das



gilt. Daraus folgt das



jetzt musst Du zeigen das



also zeigen das



und dann machste einfach weiter. Denk dran das du auch für das zeigen musst.
jentowncity Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar!

Hab jetzt noch eine Frage an dich:
Wie komm ich auf Dimension von ?

Ich weiß, ist. aber wie kommt man drauf?

Welches Verfahren muss ich hier anwenden?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Die Dimension ist die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren. Rang(U) ist Blödsinn, man definiert den Rang einer Matrix nicht den Rang eines Vektorraums!

Überlege Dir einfach wie Du eine Symmetrische /Schiefsymmetrische Matrix aus Basis vektoren erzeugen kannst. Schau Dir mal die Basis des Vektorraums der nxn Matrizen an. Und dann überleg Dir mal was speziell für symmetrische/schiefsymmetrische gilt. Dann hast Du es schon !
jentowncity Auf diesen Beitrag antworten »

Mhh...

ich check das nicht, wie kann ich denn eine symm./schiefsymm. Matrix aus Basisvektoren erzeugen?
und ich weiß auch nicht wie eine Basis des nxn Vektorraums aussieht...

Sorry, das ist zu viel für mich, kannst Du mir vielleicht noch etwas auf die Sprünge helfen?

Ich muss die Aufgabe morgen früh abgeben, also wenn du mir noch helfen möchtest, hast du nicht mehr viel zeit.
Und wenn nicht, ist das auch ok.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Basis der der 3x3 Matrizen sieht so aus



das sind 3² Basisvektoren. Die nxn Matrizen haben also n² Basivektoren. Für symmetrische/Schiefsymmetrische Matrizen gilt noch eine Zusatz bedingung

Symmetrisch
Schiefsymmetrisch

daraus kann man die Basis der UV bestimmen. Überleg einfach wo die 1en stehen müssen für die Symmetrischen /Schiefsymmetrischen.
Ace Piet Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Probleme im Vektorraum...
Ein kleiner Tipp, wie man bei einer Matrix an ein Element der i-ten Zeile, j-ten Spalte kommt.

Man nehme , d.h. 1 an der i-ten Stelle, 0 sonst und stelle fest, daß . Beachte, daß ein Zeilenvektor ist und entsprechend ein Spaltenvektor.

Zum Thema: Für zwei symmetrische Matrizen A und B gilt also und .

Also ist das Element von A + B in der i-ten Zeile, j-ten Spalte und ...



; jetzt jeweils Index drehen n.Voraussetz.

... und wieder zurück nach...



... und dies ist das Element von A + B in der j-ten Zeile, i-ten Spalte.
jentowncity Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Mazze!

War gerade noch rechtzeitig Big Laugh

Habs dann noch hingekriegt
Buschmann
schnecke123 Auf diesen Beitrag antworten »
Re
Wenn ich dieses Thema nochmal aufgreifen darf. Ich möchte nun den Unterraum U+W und den Unterraum U geschnitten W bestimmen. Undzwar im Körper der reellen Zahlen und in einem beliebigen körper.
Da ich ja Formeln für die symmetrsche bzw. schiefsymmetrische Matrix habe, reicht es diese Formeln zu nehmen und einfach zu rechnen?

also U+W= 1/2 (A-A^t) + 1/2 (A+A^t) = A

und U geschnitten W= 1/2 (A-A^t) geschnitten 1/2 (A+A^t)= 1/2 A.

Ist das alles? Oder mache ich es mir zu einfach?
Wie ist genau der Unterschied in den reellen Zahlen bzw. im beliebigen Körper?
schnecke123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Re
mir ist grad aufgefallen, dass wir diese formeln die ich da benutze noch garnicht hatten, also muss ich die erstmal beweisen Augenzwinkern habe auch einen beweis gefunden, verstehe ihn aber nicht so ganz. Zur schiefsymmetrischen formel: A^t=(1/2(A+A^t))^t= 1/2*(A+A^t)^t= 1/2 *(A^t+(A^t)^t)= 1/2 /A^t+A)=A ich verstehe jeweils den ersten und letzten schritt nicht, alo wie man von A^t auf den term kommt und wie man von dem letzten Term auf A kommt. vielen dank!
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »