Verknüpfungen Skalarprodukte

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ddp Auf diesen Beitrag antworten »
Verknüpfungen Skalarprodukte
Hallo Ihr Lieben,

stehe wieder vor einem Problem:

Untersuchen Sie, welche der folgenden Verknüpfungen Skalarprodukte
zwischen Vektoren u = (u1, u2, u3) und v = (v1, v2, v3) im Vektorraum sind.
Für die Skalarprodukte berechnen Sie die Norm von v = (1, 2, 3).

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

Könnt ihr mir bitte einen guten Tipp geben?

Vielen Dank scohnmal für eure Aufmerksamkeit smile
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Welche Eigenschaften muss denn ein Skalarprodukt erfüllen?
 
 
ddp Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Skalarprodukt (inneres Produkt) auf einem reellen Vektorraum V ist eine Abbildung (geschrieben: ), bei der für alle Vektoren u,v,w und alle Skalare c gilt:

1. <> = <>

2. <> = <> + <>

3. <> = c<>

4. <> bzw. <>
ddp Auf diesen Beitrag antworten »

ich verstehe die aufgabestellung nicht so recht
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Versuche einfach mal diese Eigenschaften bei 1., 2., 3., 4. zu prüfen. Wenn eine dieser Eigenschaften nicht erfüllt wird, kann es sich auch nicht um ein SKP handeln!
ddp Auf diesen Beitrag antworten »

ja aber was hat das mit der norm zu tun? oder stehe ich im moment ziemlich auf dem schlauch? smile
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Auf einem Vektorraum mit einem Skalarprodukt ist eine Norm durch definiert.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist vermutlich jeweils die von dem Skalarprodukt induzierte Norm gemeint, also .
ddp Auf diesen Beitrag antworten »

also ist die Norm von v:





ich weiss aber immer noch nicht so recht, was ich jetzt genau prüfen soll...

sorry, wenn ich nerve, aber das thema ist anscheinend nicht mein steckenpferd Wink
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ddp
also ist die Norm von v:





wenn du das standardskalarprodukt betrachten würdest.


aber hier geht es doch darum zu prüfen, ob die Verknüpfungen aus deinem ersten Post auch Skalarprodukte darstlellen, also ob die Bedingungen aus deinem zweiten Post erfüllt sind.

Und nur falls sich für eine Verknüpfung ergibt, dass es ein Skalarprodukt ist, sollst du die Norm berechnen.


Ich helfe dir mal bei der (a): Dies ist kein Skalarprodukt wegen , aber

Versuche dich jetzt mal an (b).
ddp Auf diesen Beitrag antworten »

b) ist eins meiner Meinung nach, weil das ist ja einfach nur das Quadrat eines normalen Skalarproduktes...

aber wie kann ich das beweisen? weil wenn ich nur einsetze ist das ja keine beweis und einen gegenbeweis wie bei a) kann ich ja auch nicht finden, wenn es korrekt ist
ddp Auf diesen Beitrag antworten »

oder ist das dann einfach:

ist das standardskalarprodukt und daraus folgt als vielfaches auch, dass ein skalarprodukt ist?
ddp Auf diesen Beitrag antworten »

War meins so weit daneben, oder wieso bekomme ich keine Anwort mehr? Wink
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

du hast bis jetzt bei (b) nur geraten. Denn die Begründung ist keine Begründung. Denn ich sehe keinen Grund das als Quadrat des Standardskalarprodukt zu bezeichnen.

Betrachte doch mal die Bedingung 3. Ist die bei (b) erfüllt?
ddp Auf diesen Beitrag antworten »



wenn man jetzt als Beispiel für u=(1,2,3), v=(1,2,3), c=5 wählt, dann erhält man









und somit passt es nicht?
ddp Auf diesen Beitrag antworten »

ich weiss es leider nicht besser unglücklich
ddp Auf diesen Beitrag antworten »

will nicht nochmal jemand den versuch starten - mir aussichtslosem fall - skalarprodukte näher zu bringen bzw. noch ein bisschen mehr bei der aufgabe zu helfen? Wink
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Berechne doch für

und u = (1,2,3) , v = (1,2,3) , c = 5

nochmal

und .

Das hast du nämlich in deinem letzten Post nicht ganz richtig gemacht.
ddp Auf diesen Beitrag antworten »









so?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

du hast richtig berechnet.

Aber hast du falsch berechnet. es ist doch und alleine ergibt schon 2025
ddp Auf diesen Beitrag antworten »

oh stimmt. danke schön. Gott
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Was schließt du jetzt daraus? Ist durch ein Skalarprodukt auf dem definiert?
ddp Auf diesen Beitrag antworten »

nein ist es nicht
ddp Auf diesen Beitrag antworten »

c) ist ein skalarprodukt, man nennt das gewichtetes skalarprodukt.
aber wie beweis ich das?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Indem du die Eigenschaften, die schon gepostet hast, nachweist.

Dazu fängst du jeweils auf der linken Seite an und formst solange um (Distributivgesetz und Kommutativgesetz auf den reellen Zahlen sind dabei deine Werkzeuge), bis du rechts angekommen bist.

Nur die letzten Eigenschaft kannst du so natürlich so nicht anpacken.
ddp Auf diesen Beitrag antworten »

na gut, dann will ich mich da mal rangeben geschockt
ddp Auf diesen Beitrag antworten »

ich schaffe es nicht
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ddp
ich schaffe es nicht


Wie kommst du darauf, dass du mit so einem Satz Hilfe bekommst? Wie wär's, wenn du einmal dein konkretes Problem schildern würdest?
ddp Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe bei der c) das jetzt so weit:



laut Eigenschaft 1 müsste jetzt ja:

gelten

in meinen augen ist das irgendwie klar, aber ich weiss nicht wie ich das auf formell korekte weise hinschreiben kann
ddp Auf diesen Beitrag antworten »

für Eigenschaft 2 habe ich folgendes gemacht:







tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ddp
ich habe bei der c) das jetzt so weit:



laut Eigenschaft 1 müsste jetzt ja:

gelten

in meinen augen ist das irgendwie klar, aber ich weiss nicht wie ich das auf formell korekte weise hinschreiben kann


Dass das gilt, ist trivial. Es reicht ein Wort: Kommutativgesetz der Multiplikation auf den reellen Zahlen.


Dann zu der Eigenschaft 2: Du machst das richtig, aber schreibst es nicht schön auf.

Fange doch links an und benutze dann Termumformung, um zu dem Term auf der rechten Seite zu kommen.

Dieses "einfach mal Gleichungen untereinander schreiben" wird in der Schule beim Lösungen von Gleichungen eingeführt und leider dann so stark verinnerlicht, dass man es auch beim Beweisen von Identitäten immer anwendet.
ddp Auf diesen Beitrag antworten »

Schule prägt - leider Augenzwinkern

Eigenschaft 3:







dann das c links rausgezogen und dan komme ich auf:



wie gehe ich bei eigenschaft 4 vor ?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

sollte doch einfach sein.
ist auch trivial.

Nur bei musst du etwas überlegen bzw. argumentieren.


PS: warum hörst du eigentlich nicht auf mein tipp, wie du das aufschreiben sollst? unglücklich
ddp Auf diesen Beitrag antworten »

ist immer da sollte beispielsweise negativ sein wird sie immer beim skalarprodukt positiv, da sie immer mit sich selbst multipliziert wird und - * - = + gibt

ist klar

daraus folgt ist auch immer gegeben weil alle in dem skalarprodukt verwendet werden und wenn man zwei zahlen multipliziert und es kommt 0 raus, dann muss mind. eine der beiden zahlen 0 sein. und da man bei der skalarprodukt-multiplikation hier, die identischen zahlen multipliziert müssen diese zahlen 0 sein, da sonst ein anderes positives ergebnis herauskommt.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Man könnte und sollte es zwar mathematisch genauer formulieren, aber die Gedankengänge sind richtig. Freude
ddp Auf diesen Beitrag antworten »

danke schön, die aufgabe fand ich ziemlich hart für informatik-studenten smile die vielen beweise sind nichts für mich Hammer
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Dann kannst du ja froh sein, dass du jetzt noch die von diesem Skalarprodukt induzierte Norm auf den Vektor anwenden musst. Das ist kein Beweis Augenzwinkern
ddp Auf diesen Beitrag antworten »

ich kenne norm berechnen nur so:







damit berechne ich aber glaub ich nur die norm des inneren euklidischen produktes oder?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ddp
ich kenne norm berechnen nur so:





Genau. Und jetzt verwende das in (c) definierte Skalarprodukt.
ddp Auf diesen Beitrag antworten »







also ist die Norm
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