Basis des Nullraumes

23.01.2006, 19:17

nightflight1

Basis des Nullraumes

Hallo,
ich beschäftige mich derzeit mit der Singulärwertzerlegung, und muss von der 3X2-Matrix

|1 1|
|1 1|
|0 0|

die Basis des Nullraumes bilden! Als Ergebins ist gegeben:

x2=(1,-1,0) und x3=(0,0,1)

Wie kommt man auf dieses Egebnis? Ich habes mit einem linearen Glecihungssystem probiert, und obige Matrix mit x1 und x2 als Variablen gleich Null gesetzt! Als Ergebnis erhalte ich (-t,t) (eine dritte Zeile gibt es ja nicht)!

Vielleicht kann ja jemand helfen! Ich beschäftige mich erst seit ein paar Tagen mit linearer Algebra, was eklatante Lücken beinhaltet.

23.01.2006, 19:22

Mazze

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Zitat:

Vielleicht kann ja jemand helfen! Ich beschäftige mich erst seit ein paar Tagen mit linearer Algebra, was eklatante Lücken beinhaltet.

Singulärwertzerlegung kam bei uns in Lina II , also im 2. Semester dran. Wenn Du von 0 angefangen hast ist das wohl das falsche Thema. Wie dem auch sei.

Zitat:

Ich habes mit einem linearen Glecihungssystem probiert

Richtiger Ansatz. Ziehe von der Zweiten zeile die erste ab Du bekommst folgendes GLS

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot x = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

das solltest Du lösen können.

Hm ich versteh nur Deine Lösungen x2 und x3 irgendwie nicht. Die Matrixmultiplikation von 3x2 und 3x1 ist nicht definiert.

23.01.2006, 19:29

nightflight1

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Basis des Nullraumes HILFE
Erhalte ich daraus dann nicht den Vektor (-1,0,0) ?

Du hast schon recht, dass dies eigentlich das falsche Thema ist! DA ich mich jedoch für einen Ansatz in der Linguistik interessiere, in der SVD nun einmal vorkommt, muss ich da leider durch!

23.01.2006, 19:40

Mazze

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Die Lösungen des homogenen Systems deiner Matrix sind Teilmengen des R². Deshalb versteh ich nicht so ganz wie die Lösungen (1,-1,0) etc.
sein sollen. Hast Du nicht zufällig noch paar Angaben dazu vergessen?
Oder poste am besten mal die ganze Aufgabe!

23.01.2006, 19:42

nightflight1

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Basis des Nullraumes HILFE
Kleiner Nachtrag; die Lösungen, die du nicht interpretieren kannst, sind in dem Buch zur Linearen Algebra, das ich habe, gegeben! Und es wird in der Tat ein Gleichungssystem, wie ich es beschrieben habe, erstellt!

Zitat:

Original von Mazze
Die Lösungen des homogenen Systems deiner Matrix sind Teilmengen des R². Deshalb versteh ich nicht so ganz wie die Lösungen (1,-1,0) etc.
sein sollen. Hast Du nicht zufällig noch paar Angaben dazu vergessen?
Oder poste am besten mal die ganze Aufgabe!

Ok, ich soll dazu die Transponierte verwenden, also die Basis von
N(Atrans)! Aber wie sieht dann das Gleichungssystem aus?

edit: Posts zusammengefügt

23.01.2006, 19:49

Mazze

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Tja, das war die Information die gefehlt hat. Für die Transponierte sieht das ganz anders aus es ist:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Du musst also

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot x = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

lösen. Und dann passen die Lösungen auch. In dem Zusammenhang solltest Du dir mal anschauen was die Transponierte einer Matrix ist.

23.01.2006, 19:52

nightflight1

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Basis des Nullraumes HILFE
Um die Transponierte zu erhalten, vertauscher ich doch einfach Zeilen und Spalten.

|1 1 0|
|1 1 0|

Aber was bringt mir das?

23.01.2006, 19:53

Mazze

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Zitat:

Aber was bringt mir das?

Du hast doch selbst gesagt das Du den Nullraum der transponierten bestimmen sollst. Also solltest Du auch vorher transponieren.

23.01.2006, 19:56

nightflight1

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Basis des Nullraumes HILFE

Zitat:

Original von Mazze
Tja, das war die Information die gefehlt hat. Für die Transponierte sieht das ganz anders aus es ist:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Du musst also

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot x = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

lösen. Und dann passen die Lösungen auch. In dem Zusammenhang solltest Du dir mal anschauen was die Transponierte einer Matrix ist.

Ich gaube, mein Problem besteht eher darin, dass ich nicht weiß, wie ich diese Gleichung löse, und dann die obige Lösung erhalte. Was eine Transponierte ist, weiß ich ja! Immerhin traurig

23.01.2006, 20:00

Mazze

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Zu dem Thema solltest Du dir mal folgende Sachen aneignen

- Lösen von Gleichungssystemen mittels dem Gaußschen Algorithmus
- lineare Unabhängigkeit (für Deine Basis dann wichtig)
- Vektorräume (nur bedingt um zu verstehen was Nullraum heißt)

das sind alles elementare Grundlagen der ganzen linearen Algebra die Du hier brauchst.

23.01.2006, 20:09

nightflight1

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Basis des Nullraumes HILFE
"Gaußscher Lgorithmus" ist dasselbe wie "Gaußsche Elimination", oder?

Werde ich mir dann mal genauer anschauen! Immerhin bin ich jetzt einen Schritt weiter und weiß, wo ich nachschlagen kann!

Hammer

Ich hoffe, ich bekomme das dann auch hin!

Jedenfalls: Vielen Dank!

23.01.2006, 20:12

Mazze

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Zitat:

Gaußscher Lgorithmus" ist dasselbe wie "Gaußsche Elimination", oder?

Ja ist es. Wird normalerweise an der Schule vorgenommen. D.h du wirst eventuell nur altes Schulwissen aufarbeiten müssen. Die anderen beiden Sachen würde ich mir nur soweit es nötig für Dich ist anschauen. Bei Fragen einfach wieder melden Augenzwinkern

25.01.2006, 15:52

nightflight1

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Basis des Nullraumes HILFE

Zitat:

Original von Mazze

Ja ist es. Wird normalerweise an der Schule vorgenommen. D.h du wirst eventuell nur altes Schulwissen aufarbeiten müssen. Die anderen beiden Sachen würde ich mir nur soweit es nötig für Dich ist anschauen. Bei Fragen einfach wieder melden Augenzwinkern

Auch auf die Gefahr hin, für leicht Hammer

gehalten zu werden:

Das Problem besteht noch immer!

Ausgangspunkt ist die Transponierte von A:

|1 1 0|
|1 1 0|

Setze ich gleich Null:

|1 1 0 0|
|1 1 0 0|

Jetzt will ich gemäß Gauß auf Zeilenstufenform bringen (multipliziere 2. Gleichung mit (-1) und addiere 1. hinzu:

|1 1 0 0|
|0 0 0 0|

Damit ist die Zeilenstufenform schon erreicht. Eigentlich habe ich damit auch schon die erste Lösung, oder? Aus der ersten Gleichung ergibt sich t(1,-1,0), die Zweite Zeile ist Null!

Sofern das bisher richtig gewesen sein sollte, fangen spätestens jetzt die Probleme an! Zunächst einmal würde ich meinen, dass hier eher ein unterbestimmtes lineares Gleichungssystem vorliegt, da weniger lineare Gleichungen als Unbekannte vorhanden sind (auch wenn x3 ja Null ist, es wird zumindest berücksichtigt)! Zumindest ist unklar, wie es weiter funktioniert.

Ich soll irgendetwas mit der Quadratmatrix von Atrans machen, die da lautet:

|2 2|
|2 2|

Aber wie soll ich die verwenden, falls ich sie verwenden soll?

25.01.2006, 16:07

Mazze

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Erstmal zu Deinem Lgs

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot x = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Du hast hier 2 linear unabhängige Lösungen. Eine ist wie Du schon gesagt hast

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} t \\ -t \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

die andere ist

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ s \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

da Du für die SWZ aber nur spezielle Vektoren brauchst reichen also

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Ich soll irgendetwas mit der Quadratmatrix von Atrans machen, die da lautet:

Die Singulärwerte sind die Wurzeln der Eigenwerte von $\begin{eqnarray*} A*A^T \end{eqnarray*}$

Die Eigenwerte sind die Nullstellen des characteristischen Polynoms.
Das characteristische Polynom einer Matrix A ist

$\begin{eqnarray*} det(A - \lambda \cdot I) \end{eqnarray*}$

Schlussendlich, läuft es darauf hinaus das Du eine Determinante berechnen musst welche ein Polynom ergibt wessen Nullstellen die Eigenwerte sind. Dir fehlt SEHR VIEL Theorie. Das sind alles Sachen die man sich nicht in einer oder zwei Stunden aneignen kann.

25.01.2006, 17:27

nightflight1

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Basis des Nullraumes HILFE
Ich weiß nicht, was die Singulärwerte jetzt mit meinem Problem zu tun haben. Die habe ich bereits bestimmt.

Nachdem ich u1 erhalte, muss ich zunächst u2 bestimmten (ich hoffe, ich habe das an der Gleichung so richtig abgelesen). u3 habe ich jetzt einfach mittels Vektorprodukt bestimmt, und erhalte somit s(0,0,1).

Natürlich fehlt mir unglaublich viel an Theorie. In der Schule hatten wie keine Matrizenrechnung, hatte nur Grundkurs! Seit gut zwei Wochen beschäftige ich mich nebenbei mit LA, um einen linguistischen Ansatz etwas besser verstehen zu können. Dazu muss ich mehr intuitiv verstehen, was da in etwa passiert!

Vielen Dank für die Antworten!

25.01.2006, 17:34

Mazze

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Dieses irgendwas mit Atrans hab ich interpretiert als die Eigenwert Berechnung der AA^T Matrix. Die Singulärwerte hast Du also bereits und Du willst jetzt die Transformationsmatrizen P und Q bestimmen nehm ich an?

Und was ist bei Dir s(0,0,1) ?

25.01.2006, 19:45

nightflight1

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Basis des Nullraumes HILFE

Zitat:

Original von Mazze
Dieses irgendwas mit Atrans hab ich interpretiert als die Eigenwert Berechnung der AA^T Matrix. Die Singulärwerte hast Du also bereits und Du willst jetzt die Transformationsmatrizen P und Q bestimmen nehm ich an?

Und was ist bei Dir s(0,0,1) ?

Ich muss für die Matrix U die Spaltenvektoren bestimmen, nachdem ich die bereits die Diagonalmatrix S und die orthogonale nxn-Matrix V bestimmt habe. Ich kann V dazu verwenden, um den orthonormalen Vektor u1 zu bestimmen. Die verbleibenden Spaltenveltoren von U, also u2 und u3, müssen eine orthonormale Basis von N(Atrans) bilden.

u2 kann ich mit der Gleichung Atrans=0 bestimmen (eigentlich auch u3, aber dazu reichen meine mathematischen Fähigkeiten leider nicht aus) bzw. ablesen.

u3 lässt sich mittels Vektorprodukt aus u1 und u2 bestimmen.

Zumindest funktioniert das in dem Sinne, dass das Ergebnis stimmt. Rock

25.01.2006, 20:02

Mazze

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Das liegt daran das das Vektorprodukt einen senkrechten Vektor zu u1 und u2 erzeugt. Der müsst dann noch linear abhängig zu Deinen anderen 2 V's sein was er diesmal wohl sogar ist (was nicht immer gegeben ist).

Ich würd Dir zumindest Raten das Du in Zukunft auch erklärst was deine U und V bedeuten. Bei uns werden die transformationsmatrizen P und Q genannt. Das ist auch völlig wurst, die könnten auch Hans und Dieter heissen. Wichtiger ist was sie sind!

25.01.2006, 20:20

nightflight1

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Basis des Nullraumes HILFE

Zitat:

Original von Mazze
Das liegt daran das das Vektorprodukt einen senkrechten Vektor zu u1 und u2 erzeugt. Der müsst dann noch linear abhängig zu Deinen anderen 2 V's sein was er diesmal wohl sogar ist (was nicht immer gegeben ist).

Ich würd Dir zumindest Raten das Du in Zukunft auch erklärst was deine U und V bedeuten. Bei uns werden die transformationsmatrizen P und Q genannt. Das ist auch völlig wurst, die könnten auch Hans und Dieter heissen. Wichtiger ist was sie sind!

Hätte ich gemacht, wenn es in diesem Zusammenhang (alos für das eigentliche Problem) von Bedeutung ist. A ist mxn, wobei m>n, und V ist nxn.

Das Vektorprodukt funktioniert demnach also immer, um unter den Voraussetzungen einen weiteren orthogonalen Vektor zu bestimmen!
Wozu wird dann zumeist auf Gram-Schmidt verwiesen (Vektorprodukt taucht i.d.R allenfalls als Alternative auf)? Ist aber nicht so wichtig!

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