Nullmengen

23.01.2006, 19:59

bluemchen

Nullmengen

es geht um den beweis, dass die flächen von I nullmengen sind. eine fläche von I ist die menge aller z aus I mit zi=xi

für den beweis können wir ohne beschränkung der allgemeinheit die fläche mit der menge aller z aus I mit z1=x1 nehmen.

nun haben wir folgende Intervallfolge gewählt:

$\begin{eqnarray*} ]x1- \frac{1}{2k},x1+\frac{1}{2k}[ \times ]x2- \frac{1}{2k},y2+\frac{1}{2k}[\times .......\times ]xn- \frac{1}{2k},yn+\frac{1}{2k}[ \end{eqnarray*}$

ich verstehe nun nicht weshalb wir dieses intervall wählen. vorallem verstehe ich nicht, weshalb wir plötzlich ein y haben.

bin wirklich froh um jede hilfe. danke

23.01.2006, 22:19

20_Cent

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verschoben

23.01.2006, 22:22

JochenX

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hallo bluemchen,
ich dachte ja erst, nur ich würde das nicht verstehen, aber nachdem 2,5h später noch keinerlei reaktion kam, denke ich, dass ich da nicht alleine bin.

wenn ich erhrlich bin, habe ich gar keine ahnung, was du da machst.
was ist I? was sind das für xi, zi?
was soll dieses x zwischen den intervallen? wo kommen diese überhaupt her?

23.01.2006, 22:38

bluemchen

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ok, tut mir leid, ich versuch das dann mal zu erklären.

die x_i und z_i brauch ich einfach für die definiton der hyperflächen von I, also: $\begin{eqnarray*} \{ z\in I: z_i=x_i\} \end{eqnarray*}$

und diese intervallfolge muss man dann ja einfach wählen, damit ich dann bestimmen kann, dass die summe des volumens bzgl dieses intervalls gegen null geht, und somit meine menge eine nullmenge ist.
ja und diese x zwischen den intervallen, sollten solche kreuze sein, d.h. dass die intervalle dann wie vereinigt sind.

23.01.2006, 22:40

20_Cent

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$\begin{eqnarray*} \{ z\in I: z_i=x_i\} \end{eqnarray*}$

das tieferstellen machst du mit _

wenn du mehrere zeichen tieferstellen willst, schreibe { } um den index:

a_{i,j} ergibt : $\begin{eqnarray*} a_{i,j} \end{eqnarray*}$

mfG 20

23.01.2006, 22:41

bluemchen

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danke

23.01.2006, 22:49

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Das hast jetzt erklärt (oder zumindest versucht), was Hyperflächen von I sind. Aber ich wiederhole nochmal Jochens Frage:

Was ist I selbst?

EDIT: Ok, ich habs mir selbst zusammengereimt: Im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ betrachtest du das (n-1)-dimensionale "Rechteck" (diese Bezeichnung ist für n=3 passend)

$\begin{eqnarray*} A := \left\{ (z_1,z_2,\ldots,z_n) \Bigm| z_1=x_1, x_k\leq z_k\leq y_k\;\forall\,k=2,\ldots,n \right\} \end{eqnarray*}$

und sollst dessen n-dimensionales Lebesguemaß bestimmen. Und $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ ist vermutlich die Menge der n-dimensionalen offenen Intervalle, und da betrachtest du die Mengenfolge

$\begin{eqnarray*} A_k := \left]x_1- \frac{1}{2k},x_1+\frac{1}{2k}\right[ \times \left]x_2- \frac{1}{2k},y_2+\frac{1}{2k}\right[ \times \cdots \times \left]x_n- \frac{1}{2k},y_n+\frac{1}{2k}\right[ \end{eqnarray*}$

welche monoton gegen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ konvergiert, also $\begin{eqnarray*} A_k\searrow A \end{eqnarray*}$ , um dann die Stetigkeit des Maßes zu nutzen:

$\begin{eqnarray*} \nu_n(A) = \lim\limits_{k\to\infty} ~ \nu_n(A_k) \end{eqnarray*}$

23.01.2006, 23:03

bluemchen

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es handelt sich um eine Intervallfolge, welche ich dazu benötige, um zu zeigen, dass es sich um eine nullmenge handelt.
und wenn ich ja für eine menge N zeigen muss, dass N eine nullmege ist, so muss ja als erstes gelten:

N ist Teilmenge der vereinigungen der I_k (von der intervallfolge)

und das ist eigentlich meine frage, weshalb meine Menge dann teilmenge von der vereinigun dieser intervallsfolge ist

ps: danke arthur für deine ausführungen

23.01.2006, 23:08

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Zitat:

Original von bluemchen
es handelt sich um eine Intervallfolge, welche ich dazu benötige, um zu zeigen, dass es sich um eine nullmenge handelt.

Ich denke, du ordnest mal deine Gedanken. Es ist schwierig, dir zu folgen, da du ständig wichtige Informationen aus- und weglässt.

23.01.2006, 23:11

bluemchen

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ok, sorry.. bye

ach ja und mit "es" meinte ich natürlich die hyperflächen, da ich am anfang geschrieben habe, ich müsse zeigen, dass diese nullmengen seien.

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