steigende Funktion |
| 23.01.2006, 20:12 | glocke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| steigende Funktion mein prof hat mir folgende aufgabe gestellt: sei f: ]-1,1[ -> IR differenzierber. man sagt, f steigt bei x=0, falls es ein z > 0 gibt, so daß für 0 < h < z gilt: f(-h) < f(0) < f(h). a) zeigen sie: wenn f bei x=0 steigt, dann ist f'(0) >= 0. b) zeigen sie: ist f'(0) > 0, so steigt f bei x = 0. die schwierigkeit hier lag darin, das ich nur "einfaches handwerkszeug" benutzen durfte. die aufgaben sind jedoch gelöst und ich habe sie nur der vollständigkeit halber aufgeführt. der dritte teil hat es da doch mehr in sich: c) finden die eine differenzierbare funktion f, die bei x=0 steigt, aber auf keiner umgebung von 0 monoton wächst... gibt es sowas überhaupt ? meine vermutung ist: nein. was meint Ihr ? greez simon |
||||
| 23.01.2006, 20:53 | irre.flexiv | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Angenommen f steigt bei x=0. Das heißt es gibt ein z>0 so daß fur alle 0 < h < z: f(-h) < f(0) < f(h). Da f stetig ist und z fix ist gibt es eine Umgebung von x in der f monoton wächst. Ich würd sagen du hast Recht. =) |
||||
| 23.01.2006, 21:52 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aus Stetigkeit folgt i.A. nicht die Monotonie. f könnte links von 0 ja durchaus kleiner Null sein, aber dennoch stark "wackeln". Grüße Abakus 
EDIT: Mir schwebt gerade vor. Schau dir die Funktion in 0 mal an (da stetig + differenzierbar ergänzen). |
||||
| 23.01.2006, 21:56 | irre.flexiv | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja Analysis ist nicht meine Stärke =) |
||||
| 23.01.2006, 22:36 | glocke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hi ich habe es mal mit aussagenlogik versucht: betrachten wir eine beliebige z-umgebung von 0 und wählen ein x > 0 daraus. ist f nicht monoton steigend, so gilt: ¬[-x < x => f(-x) <= f(x) ] <=> [-x < x] and [ f(-x) > f(x)] f kann damit nicht in x = 0 steigend sein. ist das richtig argumentiert ? greez simon |
||||
| 23.01.2006, 22:39 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@ Glocke: les mein Beispiel im letzten Beitrag unter EDIT (ggf. halt noch etwas modifizieren). Grüße Abakus
|
||||
| Anzeige | ||||
|
|
||||
| 23.01.2006, 22:47 | glocke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja habe ich. sin(1/x) ist aber nicht stetig in 0. soweit ich weiß, auch nicht ergänzbar, weil überhaupt kein grenzwert existiert, lasse mich aber gerne belehren 
greez simon |
||||
| 23.01.2006, 22:51 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
sin(1/x) ist wirklich nicht stetig ergänzbar in 0, aber steht ja noch ein Faktor von davor. Das Problem bei dem Beispiel sind noch die Nullstellen, also noch etwas geeignetes dazu addieren. Grüße Abakus
EDIT: |
||||
| 23.01.2006, 23:17 | glocke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hmmm...habe mir den graphen von mit mathematica angeschaut. sieht wirklich ziemlich verwackelt aus. aber reicht das oder habe ich an der falschen stelle addiert ? greez simon |
||||
| 23.01.2006, 23:28 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dein f wackelt nicht genug in der Umgebung von 0, der Faktor mit dem Sinus hat da keinen Effekt (du brauchst auch ein Quadrat von dem Sinus). Siehe mal Beispiel oben (gerade editiert). Grüße Abakus
|
||||
| 23.01.2006, 23:47 | glocke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
die funktion steigt aber nicht...ich kann mir die funktion mit mathematica recht genau ansehen und das ding hat auch in einer umbebung von 0.00000001 noch ordentlich nullstellen... ich weiß irgendwie nicht, worauf du hinaus willst. ist mein beweis oben denn nicht in ordnung ? greez simon |
||||
| 23.01.2006, 23:52 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
für . Da können keine weiteren Nullstellen sein. Grüße Abakus
|
||||
| 24.01.2006, 00:04 | glocke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hast recht , ich habe das quadrat unterschlagen, grrrr. das ding osziliert also und zwar desto heftiger, je näher ich an die null komme, tangiert die x-achse aber nicht. ist in 0 stetig, wegen dem x³ als faktor, das dafür sorgt, das die beidseitigen grenzwerte dem funktionswert entsprechen. was in unmittelbarer nähe von 0 passiert ist, daß, sobald die funktion sich nur eine nasenspitze raustraut,sie sofort in die allerheftigsten trigonometrischen stürme gerät, die eine monotonie nicht zulassen wollen (auch ein mittel gegen langeweile...), weshalb die funktion in x = 0 steigt, aber auf keinem intervall monoton wächst. ??? greez simon |
||||
| 24.01.2006, 00:07 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ganz genau. Nicht zu vergessen die Differenzierbarkeit in 0. Grüße Abakus
|
||||
| 24.01.2006, 00:10 | glocke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
warum ist sie denn genau in 0 differenzierbar ? stetigkeit ist ja nur notwendig, nicht hinreichend. greez simon EDIT: ist eine funktion differenzierbar in einem punkt, so existiert auch ihre ableitung in diesem punkt als ableitung erhalte ich aber und das ist in 0 leider nicht definiert greez simon |
||||
| 24.01.2006, 00:22 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du meinst, Stetigkeit ist für Differenzierbarkeit notwendig... Die Differenzierbarkeit in 0 ist durch Betrachtung des Differenzenquotienten zu zeigen (Grenzwertbetrachtung). Für ist die Differenzierbarkeit klar. Grüße Abakus
|
||||
| 24.01.2006, 00:30 | glocke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
habe eben auf seite 1 editiert der grenzwert des differenzenquotienten ist die besagte ableitung. greez simon |
||||
| 24.01.2006, 00:46 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
. g(0) := 0 und dasselbe für die Ableitung muss natürlich extra definiert werden. Grüße Abakus
EDIT: Latex. |
||||
| 24.01.2006, 00:54 | glocke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
was meinst du damit ? greez simon |
||||
| 24.01.2006, 00:58 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
g musst du im Nullpunkt stetig (+ differenzierbar) ergänzen, dazu musst du den Funktionswert an der Stelle 0 extra definieren und damit festlegen. Bei g' musst du auch hinschreiben, was der Funktionswert bei 0 sein soll. Grüße Abakus
|
||||
| 24.01.2006, 01:08 | glocke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
g'(0) ist doch der berechnete limes. reicht das nicht ? ist das gleiche was ich vorhin gepostet habe, das von vorhin ist nur noch simplifiziert...stichwort mathematica
greez simon |
||||
| 24.01.2006, 01:19 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Ableitung habe ich auch. Dass f'(0) = 0 sein soll, musst du noch extra hinschreiben, dann ist es vollständig. Ich denke, einmal alles noch sauber aufgeschrieben und die Lösung steht. (Deine Ableitung stimmte, ich hatte die 2 überlesen, oki). Grüße Abakus
|
||||
| 24.01.2006, 01:25 | glocke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das denke ich auch. vielen dank für deine mühen und daß du meinetwegen so lange aufbleibst
greez simon. |
||||
| 24.01.2006, 01:30 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich danke auch. Das Beispiel ist ja irgendwie interessant. Grüße Abakus
|
||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|
