Extremwertaufgabe: Kegel in Ellipse |
| 20.05.2008, 18:53 | eierkopf1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Extremwertaufgabe: Kegel in Ellipse Ich möchte jetzt ein paar Extremwertaufgaben mit Ellipsen lösen: Ellipse: x² + 4y² = 16 Eine Ellipse rotiert um die x-Achse, dem entstehenden Drehellipsoid ist der volumsgrößte Kegel mit der Spitze im linen Hauptscheitel einzuschreiben. HB: Jedoch wie sind die NB? Wie ist es dann zu lösen? mfg |
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| 20.05.2008, 20:52 | eierkopf1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Weiß keiner einen Lösungsansatz? 
mfg |
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| 20.05.2008, 22:24 | eierkopf1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich denk etwas komme ich weiter. h = a - x Das ist mir klar. Und mir ist auch klar, wie ich auf a komme: Die Ellipsen-Gleichung: /:16 Dh, a² = 16 a = 4 h = 4 - x Ich habe so ein endliches Beispiel gefunden und da steht für r: r = y Das verstehe ich nicht. Wie komme ich auf r = y? mfg |
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| 20.05.2008, 22:39 | Rare676 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Es könnte r=b gelten, wenn du das meinst. Das geht aber nur, wenn der Kegelradius auf der x-Achse liegt. Und das ist hier ja nicht gefordert. Ich bin auch interessiert wie es läuft. Hab auch schon was mit dem Strahlensatz probiert, läuft aber alles nicht. Bringt denn dann das Volumen des Ellipsoiden was? Das kann man ja sogar genau bestimmen.... Ich bin gespannt ob unser Geometrieexperte Riwe hier Licht ins dunkel bringen könnte 
Edit: Meine Vermutung ist ja, das der Radius auf Höhe des Brennpunktes sein muss, ob das maximale Volumen zu erreichen, könnte es aber nicht zeigen... |
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| 20.05.2008, 23:08 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Es gibt ausser werner ziemlich wahrscheinlich auch noch andere (Geometrie-)Experten ... 
Nicht der Kegelradius, sondern die Achse des Kegels liegt auf der x-Achse! Den Ellipsenpunkt bezeichnen wir mit P(x; y), dann ist der Radius des Kegels y, seine Höhe a + x. Und schon geht's! Hauptbedingung: Volumen des Kegels, Nebenbedingung: Ellipsengleichung! mY+ Hinweis: Das Volumen des Drehellipsoides ist für die Extremwertbestimmung irrelevant. |
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| 20.05.2008, 23:20 | Rare676 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Da gehe ich stark von aus. Da ich aber Riwe vorrangig in diesen Gebieten sehe und er öfters schöne Zeichnungen einbringt, bleibt dies im Gedächnis
Edit: Ich meinte in meinem oberen Post natürlich die y-Achse. Die h Höhe des Kegels liegt, wie du schon sagst, auf der x-Achse... |
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| 20.05.2008, 23:34 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Der Kegelradius liegt aber auch nicht auf der y - Achse, sondern parallel zu dieser (und geht nicht durch den Brennpunkt). Ist dir die Vorgangsweise nun klar bzw. konntest du zu einer Lösung kommen? mY+ |
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| 20.05.2008, 23:41 | Rare676 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wie gesagt, war ich auch nur an dem Lösungsweg interessiert. Mein Problem lag in dem Verständnis, dass ich den Radius einfach y setzen konnte, da für mich der Radius je nach Kegel variiert hat. Das der Radius nicht auf der y-Achse liegt, war mir von Anfang an bewusst. Das war nur meine Idee zu der These von eierkopf1, dass y=r gesetzt wurde. Dies hatte ich ja, wie oben erwähnt, nicht durch blickt. Das mit dem Brennpunkt war ebenfalls nur eine Vermutung. Aber danke für die Hilfe
Ist jetzt auch für, auch wenn ich nicht der Fragesteller war, verständlich. Edit: Nachdem ich jetzt gedacht habe, dass alles verständlich ist, komme ich noch auf keinen grünen Zweig mit y=r und h=a+x. Warum ergibt sich h=a+x? Also warum darf man das Stück der Höhe,das sich durch abziehen von a ergibt, x nennen? |
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| 21.05.2008, 00:17 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
So sieht das aus ... (die Senkrechte verläuft nicht ganz exakt, weil man genaue Senkrechten nicht plotten kann). a = 4; h = 4 + x Die weitere Rechnung ergibt: Die Senkrechte (Radius) verläuft durch . mY+ |
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| 21.05.2008, 07:28 | eierkopf1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Danke für die Antworten!
Mir ist das mit dem r = y nicht klar. P ist der Punkt, in dem sich der Kegel und die Ellipse treffen, oder? Der Radius des Kegels ist das Stück zwischen P und der x-Achse. Diese Länge steht normal auf die x-Achse. Jedoch verstehe ich nicht, wie ich diese Länge mit r = y ausrechnen/ausdrücken kann. Ich dachte, dass y die Koordinate von P (x / y) ist. Oder verwechsle ich da was? mfg |
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| 21.05.2008, 12:54 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
y ist die y-Koordinate vom Punkt P. Ist y>0, dann ist y gleichzeitig auch der Abstand des Punktes P von der x-Achse. Und natürlich entspricht y dem Radius des Kegels. |
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| 21.05.2008, 13:10 | eierkopf1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Danke sehr für die Antwort! Jetzt habe ich es verstanden. 
Was wäre, wenn y<0 wäre? 1. Angenommen die Spitze des Kegels ist im rechten Hauptscheitel (also der Kegel dreht sich um 180°), was ist dann r? r=-y ? 2. Angenommen die Ellipse dreht sich um die y-Achse u. der Kegelspitz zeigt auf den unteren Nebenscheitel (=S4). Bei P(x / y) treffen sich der Kegel u. die Ellipse. Die Länge, die normal auf die y-Achse steht und von der y-Achse zu P reicht, ist dann der Radius des Kegels. Ist dann r=x? mfg |
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| 21.05.2008, 13:17 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Dann ist -y der Abstand von der x-Achse. Aufgrund der Spiegelsymmetrie zur x-Achse kann man aber für die y-Koordinate immer eine positive Funktion angeben.
Nein. Es ist dann immer noch r=y. Natürlich kommt es auf die Funktion an, mit der y bestimmt wird.
Ja. |
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