Abstand Ebene Punkt via Hessche Normalenform

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ilk Auf diesen Beitrag antworten »
Abstand Ebene Punkt via Hessche Normalenform
sers.

würd gern nochmal wissen, wie man den Abstand von nem Punkt zu ner Ebene berechnet, ohne sich ewig mit dem Konstruieren von weiteren Ebenen zu befassen.

Dazu gabs diese Hessesche Normalenform .

man hat halt den Punkt P(a|b|c) und die Ebene

E:

.. naja, jeder weiß ja was gemeint ist..

plz auch mit herleitung...
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn Du daraus die Koordinatengleichung aufstellst und jeden Koeffizienten durch die Norm des Normalenvektors dividierst, ergibt sich der HNF-Operator. Da setzt Du deinen Punkt ein und was rauskommt ist dein Resultat Augenzwinkern .
 
 
DGU Auf diesen Beitrag antworten »

wenn die Normalenform doch schon gegeben ist:
ersetze 0 durch d und mach Betragsstriche um die linke Seite ( je nach dem, auf welcher Seite der Punkt liegt, kann sonst ein "neg. Abstand" herauskommen)
ilk Auf diesen Beitrag antworten »

hab ich beides nicht verstanden.

die koordinatenform haben wir mal ganz dezent rausgelassen in unterricht -.-

und wie was? wo soll ich 0 durch d ersetzen?

nene, es gab da ne ganz einfache formel..
in die setzt man seinen punkt P ein, den stützvektor der ebene (der ja nicht zwangsweise genau der punkt sein muss, zu dem der punkt P den kürzesten abstand hat) und den n0 vektor. dann kommt da d raus.

das geht etwas schneller, als wenn man erst 2 parallele ebenen konstruiert...
DGU Auf diesen Beitrag antworten »

ich meine so:

d = | (P-A) * n0 | (jeweils als Vektoren)

wobei P der Punkt außerhalb von E ist, A der Aufpunkt von E und n0 (Vektor) der Vektor, der zu E senkrecht steht und die Länge 1hat

Herleitung ist ohne Skizze etwas schwieriger...
ilk Auf diesen Beitrag antworten »

okay, danke!
funzt.
finds zwar etwas komisch, dass man für A jeden Punkt der Ebene einsetzen kann und trtzdem das gleiche rauskommt (weil A muss ja nicht der punkt sein, zu dem P den kürzesten abstand hat)

nunja.

ich glaub die herleitung ging mitm cosinus irgendwie.. hm, wayne Augenzwinkern
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