Addition von Vektorräumen

24.01.2006, 10:16

Passepartout

Addition von Vektorräumen

Hallo,

ich habe ein kleines Problem, und zwar geht es um die Addition von Vektorräumen, bzw. die Dimension der Summe von Vektorräumen.

Und zwar habe ich folgendes gemacht, bzw vorausgesetzt:

V ist ein K-Vektorraum und M, N sind UNtervektorräume von V.

$\begin{eqnarray*} (a_1,...,a_n) \end{eqnarray*}$ ist eine Basis von $\begin{eqnarray*} M \cap N \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (a_1,...,a_n,m_1,...,m_m) \end{eqnarray*}$ ist eine Basis von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (a_1,...,a_n,n_1,...,n_k) \end{eqnarray*}$ ist eine Basis von $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ .

Meine Behauptung war nun, dass
$\begin{eqnarray*} (a_1,...,a_n,m_1,...,m_m,n_1,...,n_k) \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} M+N \end{eqnarray*}$ ist.

Den Beweis, dass es sich um ein Erzeugendensystem handelt habe ich schon gemacht. Ich müsste nun nur noch nachweisen, dass $\begin{eqnarray*} (a_1,...,a_n,m_1,...,m_m,n_1,...,n_k) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig ist, dann hätte ich ja auch sofort die Dimension.
Habe da auch schon überlegt, dass es reicht zu zeigen, dass es reich zu zeigen, dass (m_1,...,m_m,n_1,...,n_k) linear unabhängig ist.

Nur wie mache ich das gescheit?

Schöne Grüße Wink

,
Michael

24.01.2006, 12:10

Mazze

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edit: den Mist mit dem Schnitt entfernt

Allgemein gilt die Dimensionsformel seien N,M Untervektorräume von V

$\begin{eqnarray*} dim(N \cap M) + dim(N + M) = dim(N) + dim(M) \end{eqnarray*}$

Wenn Du sie nicht hast kannst Du es halt wie oben machen. Schreibe mal den Vektor

$\begin{eqnarray*} v + w \| v \in N , w \in M \end{eqnarray*}$

in seiner Basisdarstellung (also als linearkombination) Dann stehts ja schon fast da.

24.01.2006, 12:53

Passepartout

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Zitat:

Original von Mazze
Allgemein gilt die Dimensionsformel seien N,M Untervektorräume von V

$\begin{eqnarray*} dim(N \cap M) + dim(N + M) = dim(N) + dim(M) \end{eqnarray*}$

Es geht wohl mittelfristig darum, diese zu beweisen Augenzwinkern

Zitat:

Original von Mazze
Wenn Du sie nicht hast kannst Du es halt wie oben machen. Schreibe mal den Vektor

$\begin{eqnarray*} v + w \| v \in N , w \in M \end{eqnarray*}$

in seiner Basisdarstellung (also als linearkombination) Dann stehts ja schon fast da.

Hm, ja, damit habe ich nachgewiesen, dass es sich um ein Erzeugendensystem handelt.
Also quasi so geschrieben:
Seien, $\begin{eqnarray*} \alpha_i,\beta_i,\gamma_i,\delta_i \in K \end{eqnarray*}$ dann ist:

$\begin{eqnarray*} u+w = \sum_{j}^{n}(\alpha_j + \gamma_j) a_j + \sum_{j}^{m}\beta_j m_j + \sum_{j}^{k} \delta_j n_k \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} u = \sum_j^n \alpha_j a_j + \sum_j^m \beta_j u_j \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} w = \sum_j^n \gamma_j a_j + \sum_j^k \delta_j n_j \end{eqnarray*}$

aber es könnte ja immer noch sein, dass einige $\begin{eqnarray*} m_j \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} n_j \end{eqnarray*}$ gleich sind, oder?

Gruß Wink

,
Michael

24.01.2006, 13:01

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Passepartout
aber es könnte ja immer noch sein, dass einige $\begin{eqnarray*} m_j \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} n_j \end{eqnarray*}$ gleich sind, oder?

Nein, sie liegen ja nicht in $\begin{eqnarray*} M \cap N \end{eqnarray*}$ .

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