Beweis der Besselschen Ungleichung

24.01.2006, 14:24

Dual Space

Beweis der Besselschen Ungleichung

Besselsche Ungleichung:
Sei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ Hilbertraum, $\begin{eqnarray*} \{u_i:i\in\mathbb{N}\} \end{eqnarray*}$ ein Orthonormalsystem und $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^\infty |(x,u_i)|^2\leq \|x\|^2 \end{eqnarray*}$ .

Der Beweis der Besselschen Ungleichung startet mit:

Sei $\begin{eqnarray*} N\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ beliebig. Setze $\begin{eqnarray*} x_N= x- \sum_{i=1}^N (x,u_i)u_i \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} x_N \perp u_k \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=1,\dots, N \end{eqnarray*}$ gilt.

Meine Frage ist nun warum $\begin{eqnarray*} x_N \end{eqnarray*}$ orthogonal zu zu all diesen $\begin{eqnarray*} u_k \end{eqnarray*}$ ist. Muss (und vor allem "Kann") man diese $\begin{eqnarray*} u_k \end{eqnarray*}$ geeignet aus dem Orthonormalsystem auswählen?

Außerdem erreinnert mich die Bildungsvorschrift von $\begin{eqnarray*} x_N \end{eqnarray*}$ irgendwie an das Gram-Schmidt-Verfahren. Liefert das vielleicht auch irgendwelche entscheidenden Aussagen diesbezüglich?

Edit: Index berichtigt!

24.01.2006, 14:27

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RE: Beweis der Besselschen Ungleichung

Zitat:

Original von Dual Space
Muss (und vor allem "Kann") man diese $\begin{eqnarray*} u_i \end{eqnarray*}$ geeignet aus dem Orthonormalsystem auswählen?

Jede Teilmenge eines Orthonormalsystems ist selbst ein Orthonormalsystem, das geht schon aus der Definition hervor.

Zitat:

Original von Dual Space
Meine Frage ist nun warum $\begin{eqnarray*} x_N \end{eqnarray*}$ orthogonal zu zu all diesen $\begin{eqnarray*} u_i \end{eqnarray*}$ ist.

Einfach ausrechnen!

24.01.2006, 14:50

Dual Space

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RE: Beweis der Besselschen Ungleichung
Na gut dann will es mal nachrechnen:

Sei im Folgenden $\begin{eqnarray*} OS:=\{u_i:i\in\mathbb{N}\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_N:=\overline{\operatorname{lin}\{u_i: i=1,\dots, N\}} \end{eqnarray*}$ .

Zu zeigen ist, dass $\begin{eqnarray*} x_N\in U_N^\perp \end{eqnarray*}$ ist. Los geht's: Sei $\begin{eqnarray*} k\in\{1,\dots, N\} \end{eqnarray*}$ beliebig, aber fest.

$\begin{eqnarray*} (x_N,u_k)=(x,u_k)-\left(\sum_{i=1}^N(x,u_i)u_i, u_k\right) \end{eqnarray*}$

Fallunterscheidung:
1. Fall: $\begin{eqnarray*} u_k\in \{u\in OS: (x,u)\not= 0\} \end{eqnarray*}$ . Dann ist trivialerweise $\begin{eqnarray*} (x_N,u_k)=0 \end{eqnarray*}$

2. Fall: $\begin{eqnarray*} u_k\not\in \{u\in OS: (x,u)\not= 0\} \end{eqnarray*}$ . Tja, jetzt häng ich! Hätte da mal jemand einTipp für mich?

24.01.2006, 14:59

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Versteh nicht, was du mit deiner Fallunterscheidung bezweckst. Zunächst mal ist das Skalarprodukt in jeder Komponente linear:

$\begin{eqnarray*} \left(\sum_{i=1}^N(x,u_i)u_i, u_k\right) = \sum_{i=1}^N(x,u_i) \left(u_i, u_k\right) \end{eqnarray*}$

Und dann verwende doch einfach die Eigenschaft

$\begin{eqnarray*} (u_i,u_k) = \begin{cases} 1 & \;\mbox{für}\;i=k\\ 0 & \;\mbox{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$

des Orthonormalsystems, dann löst sich alles in Wohlgefallen auf.

24.01.2006, 15:03

Dual Space

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Danke Dir. Ist ja doch verblüffend einfach. Idee!

Edit: Wahrscheinlich ist das auch der Grund, warum alle meine Bücher diesen Schritt überspringen (MaW: "dem Leser überlassen")! Big Laugh

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