Boolsche Algebra mit >2 Elementen

24.01.2006, 14:48	Confuzius der XIV.	Auf diesen Beitrag antworten »
Boolsche Algebra mit >2 Elementen Hallo Freunde, hab hier eine Aufgabe mit Boolscher Algebra. Sie soll 16 Elemente umfassen. Bedeutet das, dass es Werte 0 -F statt 0 und 1 enthält? Oder wie versteht ihr das? MfG, Confuzius der XIV.
24.01.2006, 15:17	Brox	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Bespiel für eine boolsche Algebra mit 16 Elementen ist eine Menge S mit 16 Teilmengen. Nach dem Satz von Stone ist jede endliche boolsche Algebra isomorph zu der Potenzmengenalgebra einer endlichen Menge S. In Formeln: Sei $\begin{eqnarray} (X,\vee,\wedge,\neg,1,0) \end{eqnarray}$ eine endliche boolsche Algebra. Dann gibt es eine endliche Menge S so, dass $\begin{eqnarray} (X,\vee,\wedge,\neg,1,0) \cong (P(S),\cup,\cap,\setminus,S,\emptyset) \end{eqnarray}$ . Mathematisch kannst Du also bei endlichen boolschen Algebren alles außer Potenzmengenalgebren vergessen ^^
24.01.2006, 15:22	Confuzius der XIV.	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh mein Gott, das hört sich kompliziert an! Ich werde gleich mal versuchen, zu verstehen...
24.01.2006, 16:04	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
@ Brox Würde es nicht auch gehen, wenn man $\begin{eqnarray} \vee, \wedge \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} 0,1 \end{eqnarray}$ wie üblich erklärt und dann $\begin{eqnarray} X = \left\{ \left. \ \beta = (b_1,b_2,b_3,b_4) \ \right\| \ b_1,b_2,b_3,b_4 \in \{ 0 , 1 \}\ \right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \neg \beta = (\neg b_1, \neg b_2, \neg b_3, \neg b_4) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \beta \vee \beta' = (b_1 \vee b_1', b_2 \vee b_2', b_3 \vee b_3' , b_4 \vee b_4') \, , \ \ \ \beta \wedge \beta' = (b_1 \wedge b_1', b_2 \wedge b_2', b_3 \wedge b_3' , b_4 \wedge b_4') \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \beta = (b_1,b_2,b_3,b_4), \ \beta' = (b_1',b_2',b_3',b_4') \in X \end{eqnarray}$ setzt? $\begin{eqnarray} \Theta = (0,0,0,0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} I = (1,1,1,1) \end{eqnarray}$ wären dann die neutralen Elemente.
24.01.2006, 16:25	Brox	Auf diesen Beitrag antworten »
Für jedes n bildet sogar die Menge BFn aller n-stelligen Boolschen Funktionen $\begin{eqnarray} \{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\} \end{eqnarray}$ eine Boolsche Algebra. Mein Punkt war nur, dass Du Dir bei endlichen boolschen Algebren generell keine Gedanken darum machen musst wie sie aussehen - jede Aussage über sie kannst du mit den mathematisch einfachen und grundlegenden Potenzmengenalgebren beweisen.
24.01.2006, 16:55	Confuzius der XIV.	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank! Das war sehr gut erklärt.
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