Gauß-Fehlerintegral

20.05.2008, 22:21

Dunkit

Gauß-Fehlerintegral

Hi,
Es geht hier um einige Aufgaben zum Gauß-Fehlerintegral.
Also zunächst mal möchte ich zeigen, dass gilt $\begin{eqnarray*} \int _0 ^\infty e^{-nx^2} dx = \frac{1}{\sqrt{n}} I \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} I := \int_0 ^\infty e^{-x^2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \geq 1 \end{eqnarray*}$

So zunächst mal habe ich ddie Behauptung gewissermaßen umgeformt und komme dann auf
$\begin{eqnarray*} \lim _{a \to \infty} \int _0 ^a e^{-nx^2}dx = \lim_{a \to \infty} \int_0^a \frac{1}{\sqrt{n}} e^{-x^2}dx \end{eqnarray*}$
Ist das soweit überhaupt richtig?
Jetzt habe ich da abe rein Problem beim AUflösen des Integrals. ICh nehme an ich muss substituieren, aber was?!

Kann mir jemand auf die Sprünge helfen bitte?

20.05.2008, 23:12

cst

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RE: Gauß-Fehlerintegral
Hi,

ja, du musst substituieren. Du kannst schreiben

$\begin{eqnarray*} nx^2=\left( \sqrt{n}\right)^2x^2=(\sqrt{n}x)^2, \end{eqnarray*}$

dann fällt die Substitution direkt ins Auge.

lg
cst

21.05.2008, 01:20

Dunkit

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Hilft mir ehrlich gesagt noch nicht so ganz.
Jetzt habe ich zwar $\begin{eqnarray*} \lim_{a \to \infty} \int _{u(0)} ^{u(a)} e^{-u^2} du \end{eqnarray*}$ aber das bringt mich noch nicht so wirklich weiter. Dieses Quadrat stört mich

21.05.2008, 20:27

cst

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Okay, du hast jetzt

$\begin{eqnarray*} \int _0 ^\infty e^{-nx^2} ~\dd x = \frac{1}{\sqrt{n}} \int_0 ^\infty e^{-u^2} \dd u \end{eqnarray*}$

und damit deine Behauptung bewiesen. Sollst du jetzt noch den Wert von $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ berechnen? Eine analytische Form der Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} e^{-x^2} \end{eqnarray*}$ hat noch niemand gefunden, das geht nur numerisch; nicht schlimm also, wenn du auch keine findest. Den Wert von $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ (mit den Grenzen Null und unendlich) kann man trotzdem berechnen. Wie das geht, steht z.B. hier oder bei Wikipedia.

Oder was genau wolltest du jetzt wissen?

Wink

cst

22.05.2008, 12:09

tmo

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RE: Gauß-Fehlerintegral

Zitat:

Original von Dunkit
So zunächst mal habe ich ddie Behauptung gewissermaßen umgeformt und komme dann auf
$\begin{eqnarray*} \lim _{a \to \infty} \int _0 ^a e^{-nx^2}dx = \lim_{a \to \infty} \int_0^a \frac{1}{\sqrt{n}} e^{-x^2}dx \end{eqnarray*}$

Du hättest es vielleicht so schreiben sollen:

$\begin{eqnarray*} \lim _{a \to \infty} \int _0 ^a e^{-nx^2}dx = \lim_{b \to \infty} \int_0^b \frac{1}{\sqrt{n}} e^{-x^2}dx \end{eqnarray*}$

Denn die oberen Integrationsgrenzen müssen nicht gleich sein, sie müssen nur gegen unendlich gehen.
In deinem Fall ist halt $\begin{eqnarray*} b = \sqrt{n}{a} \end{eqnarray*}$ . So wird die vielleicht eher klar warum die Aussage durch die Substitution eigentlich sofort bewiesen ist.

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