Grenzwerte

20.05.2008, 23:13

marci_

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Grenzwerte

guten abend!

ich häng grad an zwei grenzwerten:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} (\frac 1 {sin(x)}- \frac 1 {x}) \end{eqnarray*}$ l'hospital greift da ja nicht wirklich...
wenn ich den lim reinzieh bringt mir das ja auch nicht wirklich was:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} \frac 1 {sin(x)}-\lim_{x \to 0}\frac 1 x \end{eqnarray*}$

genauso bei: $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} \frac {x^2cos(\frac 1 {x})} {sin(x)} \end{eqnarray*}$ hier macht $\begin{eqnarray*} cos(\frac 1 {x}) \end{eqnarray*}$ die probleme

gibts da irgendwelche tricks?

danke und gruß, marci

20.05.2008, 23:15

tmo

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Zum ersten Grenzwert: Gibt bestimmt was elleganteres, aber 2 mal l'Hospital klappt.

Warum macht $\begin{eqnarray*} \cos \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ Probleme? Das liegt doch zwischen -1 und 1. Wenn dieser Grenzwert existiert, dann muss er wegen der Oszillation von $\begin{eqnarray*} \cos \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ 0 sein. Dieser Term macht es dir also einfach Augenzwinkern

Augenzwinkern

PS: Du kannst es dir beim ersten Grenzwert noch einfacher machen, wenn du durch $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ kürzt, bevor du l'Hospital anwendest.

20.05.2008, 23:33

marci_

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darf ich bein der ersten l'hospital überhaupt verwenden? es ist doch die form "1/0-1/0"

20.05.2008, 23:33

tmo

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Du solltest das Teil natürlich schon auf einen Bruch bringen.

21.05.2008, 19:50

marci_

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ai na klar, jetzt stimmt mein ergebnis auch! danke

edit: $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} \frac {x^2cos(\frac 1 {x})} {sin(x)} \end{eqnarray*}$ ist doch bei x=0 nicht definiert, also hat es doch auch in x=0 keinen grenzwert
wenn ich das ableite steht am ende $\begin{eqnarray*} sin(\frac 1{x}) \end{eqnarray*}$ und dies ozilliert doch im bereich x=0 und hat somit keinen grenzwert!?

21.05.2008, 21:26

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von marci_
edit: $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} \frac {x^2cos(\frac 1 {x})} {sin(x)} \end{eqnarray*}$ ist doch bei x=0 nicht definiert, also hat es doch auch in x=0 keinen grenzwert

Hat für dich jede Funktion, die in einem Punkt nicht definiert ist, dort keinen Grenzwert? verwirrt

verwirrt

Natürlich existiert dieser Grenzwert. Du kannst dies auch folgendermaßen schreiben und abschätzen:

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{x^2\cos\frac{1}{x}}{\sin(x)}\right|=\left|\frac{x}{\sin x}\right|\cdot |x|\cdot \left|\cos\frac{1}{x}\right|\leq \left|\frac{x}{\sin x}\right|\cdot |x| \end{eqnarray*}$ .

Jetzt eine Idee?

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22.05.2008, 11:25

marci_

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da für x-->0 $\begin{eqnarray*} \left|\frac{x}{\sin x}\right|\cdot |x| \end{eqnarray*}$ gegen null geht und $\begin{eqnarray*} \left|\frac{x}{\sin x}\right|\cdot |x|\cdot \left|\cos\frac{1}{x}\right| \end{eqnarray*}$ kleiner ist als $\begin{eqnarray*} \left|\frac{x}{\sin x}\right|\cdot |x| \end{eqnarray*}$ muss es auf jeden fall konvergieren...aber wie zeig ich, dass es nun gegen null konvergiert?

würde es auch mit l'hospital gehen?

22.05.2008, 11:30

tmo

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Zitat:

Original von marci_
da für x-->0 $\begin{eqnarray*} \left|\frac{x}{\sin x}\right|\cdot |x| \end{eqnarray*}$ gegen null geht und $\begin{eqnarray*} \left|\frac{x}{\sin x}\right|\cdot |x|\cdot \left|\cos\frac{1}{x}\right| \end{eqnarray*}$ kleiner ist als $\begin{eqnarray*} \left|\frac{x}{\sin x}\right|\cdot |x| \end{eqnarray*}$ muss es auf jeden fall konvergieren...aber wie zeig ich, dass es nun gegen null konvergiert?

das hast du doch schon selbst gesagt.

wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a} g(x)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |f(x)| \leq |g(x)| \end{eqnarray*}$ in einer Umgebung von a gilt, dann gilt auch $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ .

Wie habt ihr denn Grenzwerte von Funktionen definiert? Also welche Möglichkeiten hast du denn solch eine Aussage zu beweisen?

l'Hospital macht eigentlich wenig Sinn, da $\begin{eqnarray*} \cos \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ja gar nicht gegen 0 geht.

22.05.2008, 11:39

marci_

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ah okei, ich wusste nicht, dass man durdch die konvergenz der einen funktion mit grenzwert g, auch auf den grenzwert der anderen funktion schließen kann!
du sagst: wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a} g(x)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |f(x)| \leq |g(x)| \end{eqnarray*}$ in einer Umgebung von a gilt, dann gilt auch $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ .
aber wie weiß ich, wie groß diese umgebenung sein darf?

klar war mir: $\begin{eqnarray*} |f(x)| \leq |g(x)| \end{eqnarray*}$ : wenn jetzt g(x) konvergiert, dass es dann auch f(x) machen muss !
wenn zb: $\begin{eqnarray*} |f(x)| \geq|g(x)| \end{eqnarray*}$ und g(x) divergiert, dann muss auch f(x) divergieren...

22.05.2008, 11:42

kiste

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Zitat:

Original von marci_
klar war mir: $\begin{eqnarray*} |f(x)| \leq |g(x)| \end{eqnarray*}$ : wenn jetzt g(x) konvergiert, dass es dann auch f(x) machen muss !
wenn zb: $\begin{eqnarray*} |f(x)| \geq|g(x)| \end{eqnarray*}$ und g(x) divergiert, dann muss auch f(x) divergieren...

Schön das dir das klar war, ist aber beides falsch!

22.05.2008, 11:46

marci_

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dann hab ich das mit folgen/reihen verwechselt, hier gilt es doch?!
wenn $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ konvergiert und $\begin{eqnarray*} a_n<b_n \end{eqnarray*}$ dass dann auch $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ konvergieren muss?
wenn $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ divergiert und $\begin{eqnarray*} a_n>b_n \end{eqnarray*}$ dass auch $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ divergiert

22.05.2008, 11:48

tmo

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Zitat:

Original von marci_
aber wie weiß ich, wie groß diese umgebenung sein darf?

Es ist völlig egal, wie groß diese Umgebung ist. Umso größer, umso trivialer ist es doch Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von marci_
klar war mir: $\begin{eqnarray*} |f(x)| \leq |g(x)| \end{eqnarray*}$ : wenn jetzt g(x) konvergiert, dass es dann auch f(x) machen muss !
wenn zb: $\begin{eqnarray*} |f(x)| \geq|g(x)| \end{eqnarray*}$ und g(x) divergiert, dann muss auch f(x) divergieren...

Nein, das stimmt nicht. Z.b. existiert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} sin \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ nicht, aber $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} 10+x = 10 \end{eqnarray*}$ , obwohl $\begin{eqnarray*} |10+x| > \left| sin \frac{1}{x} \right| \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in (-9,9) \setminus \{ 0 \} \end{eqnarray*}$ .

Es geht nur um diese Aussage:

Zitat:

Original von tmo

wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a} g(x)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |f(x)| \leq |g(x)| \end{eqnarray*}$ in einer Umgebung von a gilt, dann gilt auch $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ .

Aber um sowas zu beweisen, muss man natürlich den Grenzwertbegriff bei Funktionen erst definieren. Wie habt ihr das in der Vorlesung gemacht? Das habe ich doch schonmal gefragt. Und zwar nicht aus Schikane, sondern weil es uns weiterbringt.

Edit: Auch bei Folgen geht das so nicht:
Beispiel $\begin{eqnarray*} a_n = (-1)^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n = 2+\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

22.05.2008, 11:55

marci_

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wir haben den grenzwert mit hilfe der delta-epsilon umgebung definiert!

und gilt das dann nur bei reihen(minorante, majorante?):
wenn $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ konvergiert und $\begin{eqnarray*} a_n<b_n \end{eqnarray*}$ dass dann auch $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ konvergieren muss?
wenn $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ divergiert und $\begin{eqnarray*} a_n>b_n \end{eqnarray*}$ dass auch $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ divergiert

22.05.2008, 12:04

tmo

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Zitat:

Original von marci_
wir haben den grenzwert mit hilfe der delta-epsilon umgebung definiert!

ok. Dann beweisen wir damit die obige Aussage.

Sei $\begin{eqnarray*} \varepsilon >0 \end{eqnarray*}$ .
Nach Vorraussetzung konvergiert g(x) gegen 0, also gibt es ein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ , sodass für $\begin{eqnarray*} 0<|x-a| < \delta \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} |g(x)|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ gilt. Wie kannst du jetzt weitermachen?
Das ist jetzt eigentlich selbstredend Augenzwinkern

Augenzwinkern

PS: Ja, bei Reihen gibt es das Majorantenkriterium.

Aber auch für Folgen gibt es sowas. Wenn $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist und $\begin{eqnarray*} |b_n|\leq |a_n| \end{eqnarray*}$ gilt, dann ist auch $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge. Weiterhin gibt es das Sandwich-Lemma. Wenn $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ den selben Grenzwert haben und $\begin{eqnarray*} a_n\leq c_n\leq b_n \end{eqnarray*}$ gilt, dann hat auch $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ diesen Grenzwert.

22.05.2008, 20:50

marci_

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wenn dann |f(x)|<|g(x)| liegt f(x) auch in der delta-epsilon-umgebung von a?!

22.05.2008, 20:53

tmo

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Was ist denn eine Delta-Epsilon-Umgebung? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du musst doch $\begin{eqnarray*} |f(x)| \end{eqnarray*}$ nach oben gegen $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ abschätzen. Das ist doch trivial, wenn du $\begin{eqnarray*} |f(x)|\leq |g(x)| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |g(x)| < \varepsilon \end{eqnarray*}$ weißt.

22.05.2008, 20:55

marci_

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es ist dann auch $\begin{eqnarray*} |f(x)| < \varepsilon \end{eqnarray*}$
die delta-epsilon-umgebung ist die umgebung um den grenzwert a

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