Überführung einer Fktgleichung aus der Normalform in die Scheitelpunktform

21.05.2008, 00:36

sceiler

Überführung einer Fktgleichung aus der Normalform in die Scheitelpunktform

nabend oder besser morgen,

ich weiß es ist schon recht spoät aber ich hoffe jemand ist noch wach der mir helfen kann. Augenzwinkern

ich hab folgende frage:

gegeben ist $\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{4} x^2-x+2 \end{eqnarray*}$

aufgabe: gib alle eigenschaften des graphen an und berechne die nullstellen.

normalform --> scheitelpunktform

$\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{4} x^2-x+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{4}[x^2-4x]+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{4}[x^2-4x+2^2-2^2]+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{4}[(x-2)^2-4]+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{4}(x-2)^2-1+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{4}(x-2)^2+1 \end{eqnarray*}$ ==> Scheitelpunkform

Eigenschaften: Scheitelpunk(2|1) <--- müsste das nicht (-2|1) sein??
parabelöffnung: nach oben hin geöffnet
kleinster fktwert. y=1
schnittpunkt mit der y-achse (0|2)
die parabel ist gestaucht
gleichung der symmetrieachse x=2 <-- das müsste doch x=-2 sein, wenn der scheitelpunkt tatsächlich bei (-2|1] liegt oder?
fallend x kleiner gleich 2 <-- -2?
steigend x größer gleich 2 <-- -2?

nullstelle gibt es nicht, also leeremenge.

ich hab diese aufgabe nur von der tafel abgeschrieben sind die eigenschaften die meine lehrerin aufgeschrieben richtig oder habe ich recht?

gruss sceiler

21.05.2008, 00:40

tigerbine

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Wenn die Funktion stimmt...

$\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{4} x^2-x+2 \end{eqnarray*}$

21.05.2008, 00:43

tigerbine

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Warum willst Du den Scheitel bei x=-2 wählen? Du musst x so wählen, dass die Klammer "0" wird. Bei (x-2) eben (2-2)=0. Augenzwinkern

21.05.2008, 00:46

sceiler

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Zitat:

Original von tigerbine
Warum willst Du den Scheitel bei x=-2 wählen? Du musst x so wählen, dass die Klammer "0" wird. Bei (x-2) eben (2-2)=0. Augenzwinkern

weil das d=-2 ist. das d gibt ja an wie weit die parabel auf der x-achse verschoben ist

21.05.2008, 00:46

mYthos

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Die Lehrerin hat Recht. Der Scheitel liegt auf S(2;1). Allgemein gilt, die Parabel

$\begin{eqnarray*} y - y_s = a(x - x_s)^2 \end{eqnarray*}$

hat den Scheitel $\begin{eqnarray*} S(x_s; y_s) \end{eqnarray*}$ und den Streckungsfaktor a.

mY+

Hinweis: Eine Verschiebung in x-Richtung nach rechts bzw. in y-Richtung nach oben hat eine Subtraktion der Verschiebungsstrecke zur Folge!

21.05.2008, 00:48

tigerbine

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Aber Du interpretierst die Veschiebung falsch. Negativ (x-d) bedeutet, dass die Funktionswerte im Vergleich zur Normalparabel später angenommen werden, das entspricht einer Verschiebung nach rechts

Dabei ist d hier natürlich positiv, im Vergleich zu (x+2) Augenzwinkern

21.05.2008, 01:04

sceiler

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d.h. wenn -d, z.b -2 ist wird die parabel 2 einheiten nach rechts verschoben und wenn d= +2 ist wird sie 2 einheiten nach links verschoben?

21.05.2008, 02:05

tigerbine

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Nun kommen wir mit +/- wieder ins Straucheln^^

$\begin{eqnarray*} (x-d)^2 = \begin{cases} (x+|d|)^2 & d < 0 \quad \text{nach links} \\ (x-d)^2 & d \geq 0 \quad \text{nach rechts} \end{cases} \end{eqnarray*}$

21.05.2008, 14:35

sceiler

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also bei

$\begin{eqnarray*} y=(x-2)^2 \end{eqnarray*}$ wird die normalparabel 2 einheiten auf der x-achse nach rechts verschoben?
und bei $\begin{eqnarray*} y=(x+2)^2 \end{eqnarray*}$ wird die normalparabel um 2 einheiten auf der x-achse nach links verschoben?

21.05.2008, 15:13

klarsoweit

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Ja. Am einfachsten siehst du das, wo dann der Scheitelpunkt (in diesem Fall gleich Nullstelle) ist.

22.05.2008, 12:23

sceiler

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ok alles klar. vielen dank euch allen für eure hilfe

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