Kurvenintegral

21.05.2008, 11:31

jackie1

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Kurvenintegral

Hi

Ich habe hier folgendes problem, bei dem ich hänge.

Gegeben ist $\begin{eqnarray*} \gamma(t)=e^{it} \end{eqnarray*}$ . Nun soll folgende Identität gezeigt werden:

$\begin{eqnarray*} \overline{\int_{\gamma}^{}~f(z)~dz}= -\int_{\gamma}^{}~\frac{f(z)}{z^2}~dz \end{eqnarray*}$

Also ich fange mal links an:

$\begin{eqnarray*} \overline{\int_{\gamma}^{}~f(z)~dz}= \overline{\int_{\gamma}^{}~f(e^{it})ie^{it}dt} \end{eqnarray*}$

Wie kann ich hier weiter vorgehen?

vielen dank

21.05.2008, 11:43

kiste

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Irgendetwas anderes vorrausgesetzt noch? Wie z.B. f hat keine einfache Nullstelle in 0?

Ansonsten gilt für $\begin{eqnarray*} f(z) = z \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \overline{\int_\gamma z \dd z} = \overline{0} = 0 \end{eqnarray*}$ nach dem Cauchyschen Integralsatz.

und weiterhin:
$\begin{eqnarray*} -\int_\gamma \frac 1z \dd z = -2\pi\mathrm i \end{eqnarray*}$ nach der Cauchyschen Integralformel.

21.05.2008, 11:47

Jackie1

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Hm, ne. Nur halt, dass $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ ein Weg ist. Man darf aber folgendes benutzen:

$\begin{eqnarray*} \overline{\int_{\gamma}^{}~f(z)~dz }=\int_{\overline{\gamma}}^{}~\overline{f(\overline{z})}~dz \end{eqnarray*}$

Könnte man das hier vielleicht anwenden?

21.05.2008, 11:53

kiste

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$\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ ist aber schon auf $\begin{eqnarray*} [0,2\pi] \end{eqnarray*}$ definiert oder?
Wenn ja hast du ein Gegenbeispiel(unter der Vorraussetzung das dies die gesamte Aufgabenstellung ist) und ich würde gar nichts mehr tun

21.05.2008, 11:58

Jackie1

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RE: Kurvenintegral
ja,genau, es ist auf diesem Intervall definiert und f ist stetig auf dem Träger dieser Kurve. Und soll diese Identität gezeigt werden verwirrt

verwirrt

21.05.2008, 12:08

kiste

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Dann ist die Identität meiner Meinung nach für holomorphes f mit einer einfachen Nullstelle in 0 falsch.
Vielleicht schaut noch jemand anders kurz darüber und ich habe einen Denkfehler

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21.05.2008, 12:26

WebFritzi

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Ja, kiste. Dein Einwand stimmt.

$\begin{eqnarray*} \overline{\int_{\gamma}^{}~f(z)~dz }&=&\int_{\overline{\gamma}}^{}~\overline{f(\overline{z})}~dz = \int_0^{2\pi} \overline{f(e^{it})}(-ie^{-it})\;dt = \int_0^{2\pi}\frac{\overline{f(e^{it})}}{ie^{it}}\;dt\\ &=& \int_0^{2\pi}\frac{\overline{f(e^{it})}}{-e^{2it}}ie^{it}\;dt = -\int_\gamma \frac{\overline{f(z)}}{z^2}\;dz \end{eqnarray*}$

Wenn man die Aufgabe auch falsch abschreibt...

21.05.2008, 12:42

Jackie1

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Oder das konjugiert am Ende auf dem Blatt fehlt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Danke webfritzi smile

smile

21.05.2008, 12:45

WebFritzi

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Kein Problem, Jaqueline. Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.05.2008, 18:12

Jackie1

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Nochmal hallo

Ich durfte ja die obige Identität verwenden für diese Aufgabe. Nun hab ich mal versucht diese auch zu beweise, aber bin nicht vorangekommen?

Hat jemand vielleicht einen Tipp, wie ich das zeigen kann?

gruß

22.05.2008, 19:02

kiste

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WebFritzi hat den Beweis doch schon gepostet...

22.05.2008, 19:16

Dual Space

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Zitat:

Original von WebFritzi
Kein Problem, Jaqueline. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gerade du hast dich doch immer beschwert, wenn Leute nicht mit ihrem Nick angesprochen wurden. Wer ist also Jaqueline? Teufel

Teufel

22.05.2008, 19:19

Jackie1

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hallo

ja, ich meinte allgemein die Identität:

$\begin{eqnarray*} \overline{\int_{\gamma}^{}~f(z)~dz }=\int_{\overline{\gamma}}^{}~\overline{f(\overline{z})}~dz \end{eqnarray*}$

Wie könnte ich da am besten vorgehen? Also wenn ich von links anfange, fehlt mir die Idee:

$\begin{eqnarray*} \overline{\int_{\gamma}^{}~f(z)~dz }=\overline{\int_{}^{}~f(\gamma(t))\cdot \gamma '(t)~dt}=... \end{eqnarray*}$

Wie könnte man hier fortfahren?

22.05.2008, 22:05

WebFritzi

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$\begin{eqnarray*} = \int_{}^{}~\overline{f(\gamma(t))\cdot \gamma '(t)}~dt \end{eqnarray*}$

22.05.2008, 22:59

Jackie1

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hm, ok. Als weiteren Schritt könnte ich ja ausnutzen, dass $\begin{eqnarray*} \overline{ab}=\overline{a}\cdot\overline{b} \end{eqnarray*}$ ist, aber der entscheidende Schritt um auf die rechte Seite zu kommen, fehlt mir. Bzw vor allem, wie ich dann auf $\begin{eqnarray*} \overline{\gamma} \end{eqnarray*}$ schließe verwirrt

verwirrt

24.05.2008, 18:41

Jackie1

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hallo nochmal. Ich hoffe, dass ich jetzt den Beweis habe. Hier mal meine Schritte

$\begin{eqnarray*} \int_{\overline{\gamma}}^{}~\overline{f(\overline{z})}~dz=\int_{}^{}~\overline{f(\gamma(t))}\cdot \overline{\gamma '(t)}~dt=\int_{}^{}~\overline{f(\gamma(t))\cdot \gamma '(t)}~dt=\overline{\int_{}^{}~f(\gamma(t))\cdot \gamma '(t)~dt}=\overline{\int_{\gamma}^{}~f(z)~dz} \end{eqnarray*}$

Vielleicht könnte da jemand mal drüber schauen?

gruß, Jackie

25.05.2008, 17:27

WebFritzi

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Das ist richtig so. smile

smile

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